円に内接する四角形ABCDにおいて、辺AB=a, BC=b, CD=c, DA=dとする。角Bの大きさをBで表すとき、$\cos B$をa, b, c, dを用いて表す問題である。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、辺AB=a, BC=b, CD=c, DA=dとする。角Bの大きさをBで表すとき、$\cos B$をa, b, c, dを用いて表す問題である。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形では、対角の和が180度である。したがって、∠D = 180° - ∠Bとなる。

三角形ABCにおいて、余弦定理より

$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos B$

三角形ADCにおいて、余弦定理より

$AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd\cos D$

ここで、$D = 180^\circ - B$であるから、$\cos D = \cos (180^\circ - B) = -\cos B$

よって、$AC^2 = c^2 + d^2 + 2cd\cos B$

したがって、

$a^2 + b^2 - 2ab\cos B = c^2 + d^2 + 2cd\cos B$

これより、

$2ab\cos B + 2cd\cos B = a^2 + b^2 - c^2 - d^2$

$(2ab + 2cd)\cos B = a^2 + b^2 - c^2 - d^2$

$\cos B = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}$

3. 最終的な答え

$\cos B = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}$