3つの直線が与えられたとき、これらの直線が三角形を作らないような $a$ の値をすべて求める問題です。三角形ができないのは、3直線が平行であるか、2直線が平行で他の直線がそれらと交わらないか、または3直線が1点で交わるときです。

1. 問題の内容

3つの直線が与えられたとき、これらの直線が三角形を作らないような $a$ の値をすべて求める問題です。三角形ができないのは、3直線が平行であるか、2直線が平行で他の直線がそれらと交わらないか、または3直線が1点で交わるときです。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2}{3}x - 6$, $y = \frac{1}{6}x - 1$, $y = ax - 5$ の場合

まず、3直線がすべて平行であることはありません。なぜなら、$\frac{2}{3} \neq \frac{1}{6}$ だからです。

次に、2直線が平行な場合を考えます。

* $y = ax - 5$ と $y = \frac{2}{3}x - 6$ が平行なとき、 $a = \frac{2}{3}$

* $y = ax - 5$ と $y = \frac{1}{6}x - 1$ が平行なとき、 $a = \frac{1}{6}$

最後に、3直線が1点で交わる場合を考えます。

$y = \frac{2}{3}x - 6$ と $y = \frac{1}{6}x - 1$ の交点を求めます。

$\frac{2}{3}x - 6 = \frac{1}{6}x - 1$

$4x - 36 = x - 6$

$3x = 30$

$x = 10$

$y = \frac{1}{6}(10) - 1 = \frac{10}{6} - 1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

交点は $(10, \frac{2}{3})$ です。

この点が $y = ax - 5$ 上にあるとき、

$\frac{2}{3} = 10a - 5$

$2 = 30a - 15$

$30a = 17$

$a = \frac{17}{30}$

(2) $y = \frac{1}{2}x + 4$, $y = \frac{7}{8}x - 2$, $y = ax + 6$ の場合

まず、3直線がすべて平行であることはありません。なぜなら、$\frac{1}{2} \neq \frac{7}{8}$ だからです。

次に、2直線が平行な場合を考えます。

* $y = ax + 6$ と $y = \frac{1}{2}x + 4$ が平行なとき、$a = \frac{1}{2}$

* $y = ax + 6$ と $y = \frac{7}{8}x - 2$ が平行なとき、$a = \frac{7}{8}$

最後に、3直線が1点で交わる場合を考えます。

$y = \frac{1}{2}x + 4$ と $y = \frac{7}{8}x - 2$ の交点を求めます。

$\frac{1}{2}x + 4 = \frac{7}{8}x - 2$

$4x + 32 = 7x - 16$

$3x = 48$

$x = 16$

$y = \frac{1}{2}(16) + 4 = 8 + 4 = 12$

交点は $(16, 12)$ です。

この点が $y = ax + 6$ 上にあるとき、

$12 = 16a + 6$

$16a = 6$

$a = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{2}{3}, \frac{1}{6}, \frac{17}{30}$

(2) $a = \frac{1}{2}, \frac{7}{8}, \frac{3}{8}$