いくつか小問に分かれた幾何学の問題です。三角形の相似比、角度の大きさ、相似条件、線分の長さ、面積比、体積比などを求めます。

1. 問題の内容

いくつか小問に分かれた幾何学の問題です。三角形の相似比、角度の大きさ、相似条件、線分の長さ、面積比、体積比などを求めます。

2. 解き方の手順

順に解いていきます。

[1]

(1) $\triangle ABC$と$\triangle EDF$の相似比は、対応する辺の比を計算します。

$AB$に対応するのが$DE$です。$BC$に対応するのが$EF$です。$AC$に対応するのが$DF$です。$BC = 8$、 $EF = 6$なので、相似比は$8:6 = 4:3$です。

(2) $\angle E$の大きさは、$\triangle EDF$の$\angle F$に対応するので、$\triangle ABC$の$\angle B$と同じです。したがって、$\angle E = 55^\circ$です。

[2]

(1) $\angle ABC = \angle AED$であることから、$\triangle ABC$と$\triangle AED$に着目します。$\angle A$は共通なので、2角がそれぞれ等しく$\triangle ABC \sim \triangle AED$となります。頂点の対応順に注意して書くと$\triangle ABC \sim \triangle AED$です。したがって、オカキはE, Dです。

(2) (1)で$\triangle ABC \sim \triangle AED$を証明したことから、2組の角がそれぞれ等しいという相似条件を使ったことがわかります。よって、答えは③です。

(3) $\triangle ABC \sim \triangle AED$であることから、$AC:AD = BC:ED$が成り立ちます。 $9:6 = 12:ED$なので、$ED = \frac{6 \times 12}{9} = \frac{72}{9} = 8$です。

[3]

(1) $DE // BC$なので、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$です。したがって、$AD:AB = AE:AC = DE:BC$が成り立ちます。$AD = 8$、$AC = 10$、$AB = 27+DB$、$BC = 10$という数値が図から読み取れます。$AD:AB = AE:AC$より$8:(27+DB)=8/AC$、$AD:AB = DE:BC$より$8:(27+DB)=8/10$、$AE = 10$ $AC=10$は意味がありません。$AD:AB = AE:AC$は使いません。

$AD:AB = DE:BC$より$27:(27+DB) = DE/10 = 8/27$

(2) $M, N$がそれぞれ$AC, BC$の中点なので、$MN // AB$です。したがって、$\angle CMN = \angle CAB = 46^\circ$です。また、$MN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 18 = 9$です。

(3) 平行線と比の関係より、$\frac{3}{9} = \frac{x}{12}$が成り立ちます。したがって、$x = \frac{3 \times 12}{9} = \frac{36}{9} = 4$です。

[4]

$DE // BC$なので、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$です。$AD:AB = 3: (3+2) = 3:5$なので、相似比は$3:5$です。面積比は相似比の2乗なので、$3^2:5^2 = 9:25$です。$\triangle ADE$の面積を9とすると、$\triangle ABC$の面積は25です。したがって、四角形$DBCE$の面積は$25-9=16$です。よって、$\triangle ADE$と四角形$DBCE$の面積比は$9:16$です。

[5]

(1) 相似な三角柱$P, Q$の相似比が$2:5$なので、体積比は相似比の3乗です。したがって、$2^3:5^3 = 8:125$です。

(2) $Q$の体積が$250 \text{cm}^3$のとき、$P$の体積を$x$とすると、$8:125 = x:250$が成り立ちます。したがって、$x = \frac{8 \times 250}{125} = 8 \times 2 = 16 \text{cm}^3$です。

3. 最終的な答え

[1]

(1) ア:イ = 4:3

(2) ウエ = 55

[2]

(1) オカキ = ED

(2) ク = ③

(3) ケ = 8

[3]

(1) コサ = 19

(2) シス = 46

セ = 9

(3) ソ = 4

[4]

タ:チツ = 9:16

[5]

(1) テ:トナニ = 8:125

(2) ヌネ = 16