双曲線 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = -1$ と直線 $3x - 2y + 4 = 0$ の交点を求める問題です。もし交点が存在しない場合は「解なし」と答えます。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = -1$ と直線 $3x - 2y + 4 = 0$ の交点を求める問題です。もし交点が存在しない場合は「解なし」と答えます。

2. 解き方の手順

まず、直線の方程式から $y$ を $x$ の式で表します。

$3x - 2y + 4 = 0$ より、

$2y = 3x + 4$

$y = \frac{3}{2}x + 2$

次に、この $y$ の式を双曲線の方程式に代入します。

$\frac{x^2}{4} - \frac{(\frac{3}{2}x + 2)^2}{9} = -1$

$\frac{x^2}{4} - \frac{(\frac{9}{4}x^2 + 6x + 4)}{9} = -1$

両辺に36をかけて分母を払います。

$9x^2 - 4(\frac{9}{4}x^2 + 6x + 4) = -36$

$9x^2 - (9x^2 + 24x + 16) = -36$

$9x^2 - 9x^2 - 24x - 16 = -36$

$-24x = -36 + 16$

$-24x = -20$

$x = \frac{-20}{-24} = \frac{5}{6}$

求めた $x$ の値を直線の方程式に代入して $y$ の値を求めます。

$y = \frac{3}{2}x + 2$

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6} + 2$

$y = \frac{15}{12} + 2 = \frac{5}{4} + 2 = \frac{5}{4} + \frac{8}{4} = \frac{13}{4}$

したがって、交点の座標は $(\frac{5}{6}, \frac{13}{4})$ となります。

3. 最終的な答え

$(\frac{5}{6}, \frac{13}{4})$