問題は複数の小問から構成されています。 (1) 円の中心 O と円周上の点 A, B, C が与えられたとき、角 $x$ の大きさを求めます。 (2) 円周上の点 A, B, C, D, E, F が与えられたとき、角 $x$ の大きさを求めます。 (3) 円の中心 O と円周上の点 A, B, C が与えられたとき、角 $x$ の大きさを求めます。 (4) 円の中心 O と円周上の点 A, B, C, D が与えられたとき、角 $x$ の大きさを求めます。 (5) 円周上に 4 点 A, B, C, D があるとき、角 $x$ の大きさを求める条件を求めます。 (6) 円周上に 4 点 A, B, C, D があり、AC と BD の交点を E とするとき、$\triangle AED \sim \triangle BEC$ となることを証明します。空欄を埋める選択肢を選びます。

1. 問題の内容

問題は複数の小問から構成されています。

(1) 円の中心 O と円周上の点 A, B, C が与えられたとき、角 $x$ の大きさを求めます。

(2) 円周上の点 A, B, C, D, E, F が与えられたとき、角 $x$ の大きさを求めます。

(3) 円の中心 O と円周上の点 A, B, C が与えられたとき、角 $x$ の大きさを求めます。

(4) 円の中心 O と円周上の点 A, B, C, D が与えられたとき、角 $x$ の大きさを求めます。

(5) 円周上に 4 点 A, B, C, D があるとき、角 $x$ の大きさを求める条件を求めます。

(6) 円周上に 4 点 A, B, C, D があり、AC と BD の交点を E とするとき、$\triangle AED \sim \triangle BEC$ となることを証明します。空欄を埋める選択肢を選びます。

2. 解き方の手順

(1) $\angle AOB = 68^{\circ}$ であり、$OA = OB$ より $\triangle OAB$ は二等辺三角形である。

よって $\angle OAB = \angle OBA = (180^{\circ} - 68^{\circ})/2 = 56^{\circ}$

したがって、$x = 56^{\circ}$。

(2) $\angle BCA = 28^{\circ}$ (円周角の定理より)

$\angle DBC = 25^{\circ}$ (円周角の定理より)

$\angle x = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 28^{\circ} = 127^{\circ}$

(3) $x = 2 \times 35^{\circ} = 70^{\circ}$ (中心角は円周角の2倍)

(4) $x = 43^{\circ}$ (円周角の定理より)

(5) $\angle ABD = 40^{\circ}$, $\angle BDC = 80^{\circ}$. $\angle ACB = x$.

4 点 A, B, C, D が同一円周上にある条件は、$\angle DAC = \angle DBC$ である.

$\angle BCD = \angle BAD = 180^{\circ}-40^{\circ}-80^{\circ}-x$

また、$\angle BAC = \angle BDC$

$\angle ADB = \angle ACB$ を満たす必要があります。

よって$\angle x = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ}$

(6) $\triangle AED$ と $\triangle BEC$ において, $\angle AED = \angle BEC$ (対頂角は等しい) なので、選択肢の4を選びます。

また、$\angle EAD = \angle EBC$ (CD に対する円周角は等しい) なので、選択肢の2を選びます。

したがって、(i),(ii) より、2組の角がそれぞれ等しいから $\triangle AED \sim \triangle BEC$.

3. 最終的な答え

(1) 56

(2) 127

(3) 70

(4) 43

(5) 60

シ: 4

ス: 2