与えられた図形や条件から、指定された長さを求めたり、三角形の形状を判断したりする問題です。具体的には、直角三角形の辺の長さ、三角形が直角三角形かどうか、2点間の距離、円の半径、円錐の高さ、直方体の表面上の最短距離を求める問題が出題されています。

1. 問題の内容

与えられた図形や条件から、指定された長さを求めたり、三角形の形状を判断したりする問題です。具体的には、直角三角形の辺の長さ、三角形が直角三角形かどうか、2点間の距離、円の半径、円錐の高さ、直方体の表面上の最短距離を求める問題が出題されています。

2. 解き方の手順

[1](1)

三平方の定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2$。

$AB = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$。

[1](2)

$BD = x$とすると、$CD = 6$。

$\triangle CDB$において、$\angle B = 60^{\circ}$なので、$CD = BD \tan{60^{\circ}} = x \sqrt{3}$。

したがって、$6 = x \sqrt{3}$より、$x = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$。よって、$DB = 2\sqrt{3}$。

$\triangle CDA$において、$\angle A = 45^{\circ}$なので、$AD = CD = 6$。

$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。

[2](1)

$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 = 2 + 6 = 8$

$(\sqrt{7})^2 = 7$

$8 \neq 7$より直角三角形ではないので②

[2](2)

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$13^2 = 169$

$5^2 + 12^2 = 13^2$より直角三角形なので①

[3](1)

2点A(-2, 3), B(4, 5)間の距離は、

$\sqrt{(4 - (-2))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$。

[3](2)

円の中心Oから点Aまでの距離は10cm、線分ATの長さは8cmなので、三平方の定理より、円の半径をrとすると、

$r^2 + 8^2 = 10^2$

$r^2 = 100 - 64 = 36$

$r = 6$

[3](3)

円錐の高さをhとすると、三平方の定理より、

$h^2 + 3^2 = 4^2$

$h^2 = 16 - 9 = 7$

$h = \sqrt{7}$

[4]

展開図を考えると、AGの長さが最短となるとき、AGは直線となる。

AからBCまでの距離は6cm, GからBCまでの距離は4cmなので、AGの長さは

$\sqrt{(6+4)^2 + (5+0)^2} = \sqrt{10^2 + 5^2}= \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

[1](1): $\sqrt{13}$

[1](2): $DB = 2\sqrt{3}$, $AC = 6\sqrt{2}$

[2](1): ②

[2](2): ①

[3](1): $2\sqrt{10}$

[3](2): 6

[3](3): $\sqrt{7}$

[4]: $5\sqrt{5}$