円に内接する四角形ABCDがあり、その辺の長さをAB=a, BC=b, CD=c, DA=dとする。 (1) 角Bの大きさをBとするとき、cosBをa, b, c, dで表す。 (2) 四角形ABCDの面積をSとする。$s = \frac{a+b+c+d}{2}$ とおくとき、Sをa, b, c, d, sを用いて表す簡単な式を求め、その後、$a=21, b=25, c=26, d=27$ のときのSの値を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、その辺の長さをAB=a, BC=b, CD=c, DA=dとする。

(1) 角Bの大きさをBとするとき、cosBをa, b, c, dで表す。

(2) 四角形ABCDの面積をSとする。$s = \frac{a+b+c+d}{2}$ とおくとき、Sをa, b, c, d, sを用いて表す簡単な式を求め、その後、$a=21, b=25, c=26, d=27$ のときのSの値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

余弦定理を三角形ABCと三角形ADCに適用する。

$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B$

また、円に内接する四角形の性質より、$D = 180^\circ - B$ なので、

$AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos(180^\circ - B)$

$AC^2 = c^2 + d^2 + 2cd \cos B$

上記2式より、

$a^2 + b^2 - 2ab \cos B = c^2 + d^2 + 2cd \cos B$

$2ab \cos B + 2cd \cos B = a^2 + b^2 - c^2 - d^2$

$\cos B = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}$

(2)

四角形ABCDの面積Sは、三角形ABCと三角形ADCの面積の和で表せる。

$S = \frac{1}{2} ab \sin B + \frac{1}{2} cd \sin D$

$S = \frac{1}{2} ab \sin B + \frac{1}{2} cd \sin(180^\circ - B)$

$S = \frac{1}{2} ab \sin B + \frac{1}{2} cd \sin B$

$S = \frac{1}{2} (ab + cd) \sin B$

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ より、$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B}$

$\sin B = \sqrt{1 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)})^2}$

ブレートシュナイダーの公式（円に内接する四角形の面積）を用いる。

$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

ここで、$s = \frac{a+b+c+d}{2}$

$a=21, b=25, c=26, d=27$ を代入すると、

$s = \frac{21+25+26+27}{2} = \frac{99}{2} = 49.5$

$S = \sqrt{(49.5-21)(49.5-25)(49.5-26)(49.5-27)}$

$S = \sqrt{(28.5)(24.5)(23.5)(22.5)}$

$S = \sqrt{369121.5625} = 607.5538 \approx 607.55$

3. 最終的な答え

(1) $\cos B = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}$

(2) $S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

$a=21, b=25, c=26, d=27$ のとき、$S = 607.55$