半径が $\frac{\sqrt{21}}{3}$ の円に内接する五角形 ABCDE において、AB = 2, BC = 1, DE = 2 であり、三角形 ACD が正三角形のとき、以下の問いに答えます。 (1) 線分 AD の長さを求めよ。 (2) 線分 BD の長さを求めよ。 (3) 四角形 ABCD の面積を求めよ。 (4) 五角形 ABCDE の面積を求めよ。

1. 問題の内容

半径が $\frac{\sqrt{21}}{3}$ の円に内接する五角形 ABCDE において、AB = 2, BC = 1, DE = 2 であり、三角形 ACD が正三角形のとき、以下の問いに答えます。

(1) 線分 AD の長さを求めよ。

(2) 線分 BD の長さを求めよ。

(3) 四角形 ABCD の面積を求めよ。

(4) 五角形 ABCDE の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分 AD の長さ

三角形 ACD は正三角形なので、AD = AC = CD です。

円の半径 R は $\frac{\sqrt{21}}{3}$ です。正三角形 ACD の外接円の半径は R に等しいので、正三角形の一辺の長さ AD は $\sqrt{3}R$ で求められます。

したがって、AD = $\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{21}}{3} = \frac{\sqrt{63}}{3} = \frac{3\sqrt{7}}{3} = \sqrt{7}$

(2) 線分 BD の長さ

$\triangle ABD$ に対して余弦定理を適用します。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos{\angle BAD}$

ここで、$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$ であり、$\angle CAD = 60^{\circ}$ (正三角形の角)。

$\angle BAC$ を求めるために、$\triangle ABC$ に対して余弦定理を適用します。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos{\angle ABC}$

$7 = 4 + 1 - 2 \times 2 \times 1 \times \cos{\angle ABC}$

$2 = -4 \cos{\angle ABC}$

$\cos{\angle ABC} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\angle ABC = 120^{\circ}$。

円周角の定理より、$\angle ADC = 120^{\circ}$ なので、$\angle ABC + \angle ADC = 120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}$。

四角形 ABCD は円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$。

$\angle ACB = \theta$ とおくと、正弦定理より $\frac{AB}{\sin{\theta}} = 2R = \frac{2\sqrt{21}}{3}$

$\sin{\theta} = \frac{2 \times 3}{2\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{21} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$\angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} - \theta = 60^{\circ} - \theta$

$\sin{\angle BAC} = \sin{(60^{\circ} - \theta)} = \sin{60^{\circ}}\cos{\theta} - \cos{60^{\circ}}\sin{\theta}$

$\cos{\theta} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{21}}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{21}{49}} = \sqrt{\frac{28}{49}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$

$\sin{\angle BAC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2\sqrt{7}}{7} - \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{21}}{7} = \frac{2\sqrt{21} - \sqrt{21}}{14} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{14}} = \frac{14}{\sqrt{21}} = \frac{14\sqrt{21}}{21} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$

$\angle BAC = \arcsin(\frac{\sqrt{21}}{14})$

$\angle BAD = 60^{\circ} + \arcsin(\frac{\sqrt{21}}{14})$

$BD^2 = 2^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \times 2 \times \sqrt{7} \times \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 4 + 7 - 4\sqrt{7} \times \cos{(60^{\circ} + \angle BAC)}$

$BD = \sqrt{8}$

または、トレミーの定理を使うと、四角形 ABCD において、

$AC \times BD = AB \times CD + BC \times AD$

$\sqrt{7} \times BD = 2 \times \sqrt{7} + 1 \times \sqrt{7}$

$\sqrt{7} \times BD = 3\sqrt{7}$

$BD = 3$

(3) 四角形 ABCD の面積

四角形 ABCD の面積は、$\triangle ABC$ の面積と $\triangle ADC$ の面積の和です。

$\triangle ABC$ の面積 = $\frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 \times \sin{120^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ADC$ の面積 = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{7})^2 = \frac{7\sqrt{3}}{4}$

四角形 ABCD の面積 = $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{7\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3} + 7\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

(4) 五角形 ABCDE の面積

五角形 ABCDE の面積 = 四角形 ABCD の面積 + $\triangle ADE$ の面積

DE = AB = 2 であり、AD = $\sqrt{7}$ である。

$\triangle ADE$ に対して余弦定理を適用すると、

$AE^2 = AD^2 + DE^2 - 2 \times AD \times DE \times \cos{\angle ADE}$

$\angle AED = \angle ABE$, $\angle ADE = \angle ABE$, $\angle EAD = \angle ECD$.

$\triangle ADE = \triangle ABE$ ではない。

五角形 ABCDE の面積を直接求めるのは難しそう。

円の中心を O とすると、$\angle AOC = 2\angle ABC = 240^{\circ}$

$AC = 2R \sin(\frac{1}{2} \angle AOC) = 2 \times \frac{\sqrt{21}}{3} \sin(120^{\circ}) = \frac{2\sqrt{21}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{63}}{3} = \sqrt{7}$

AC = AD = DE

AE = 1

$\triangle ADE = \frac{1}{2}AD \times AE \times sin(EAD)$

3. 最終的な答え

(1) AD = $\sqrt{7}$

(2) BD = $3$

(3) 四角形 ABCD の面積 = $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

(4) 五角形 ABCDE の面積 = $\frac{9\sqrt{3}}{4}$