問題は3つの部分に分かれています。 (1) 2つの直線 $2ax - 3y + 1 = 0$ と $3x + (a+2)y - 5 = 0$ が垂直であるとき、定数 $a$ の値を求める。 (2) 2点 $A(-2, 2)$ と $B(4, 5)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $C$ の座標を求め、さらに、原点 $O$ に対し、三角形 $OBC$ の面積を求める。 (3) 2直線 $x - 2y + 5 = 0$ と $2x + 3y - 4 = 0$ の交点を通る直線を $l$ とするとき、$l$ が原点 $O(0, 0)$ を通るときの $l$ の傾きを求め、また、直線 $l$ が、直線 $3x - y = 0$ と平行になるとき、その直線の $y$ 切片を求める。

1. 問題の内容

問題は3つの部分に分かれています。

(1) 2つの直線 $2ax - 3y + 1 = 0$ と $3x + (a+2)y - 5 = 0$ が垂直であるとき、定数 $a$ の値を求める。

(2) 2点 $A(-2, 2)$ と $B(4, 5)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $C$ の座標を求め、さらに、原点 $O$ に対し、三角形 $OBC$ の面積を求める。

(3) 2直線 $x - 2y + 5 = 0$ と $2x + 3y - 4 = 0$ の交点を通る直線を $l$ とするとき、$l$ が原点 $O(0, 0)$ を通るときの $l$ の傾きを求め、また、直線 $l$ が、直線 $3x - y = 0$ と平行になるとき、その直線の $y$ 切片を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの直線が垂直であるとき、それぞれの傾きの積は $-1$ になります。

$2ax - 3y + 1 = 0$ より、$y = \frac{2a}{3}x + \frac{1}{3}$ なので、傾きは $\frac{2a}{3}$ です。

$3x + (a+2)y - 5 = 0$ より、$y = -\frac{3}{a+2}x + \frac{5}{a+2}$ なので、傾きは $-\frac{3}{a+2}$ です。

よって、$\frac{2a}{3} \cdot (-\frac{3}{a+2}) = -1$ となります。

これを解くと、$2a = a + 2$ より、$a = 2$

(2) 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $C$ の座標は、

$C = (\frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{2+1}, \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 2}{2+1}) = (\frac{8-2}{3}, \frac{10+2}{3}) = (2, 4)$

三角形 $OBC$ の面積は、$O(0, 0)$, $B(4, 5)$, $C(2, 4)$ より、

$S = \frac{1}{2} |4 \cdot 4 - 5 \cdot 2| = \frac{1}{2} |16 - 10| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

(3) 2直線 $x - 2y + 5 = 0$ と $2x + 3y - 4 = 0$ の交点を通る直線 $l$ は、

$k(x - 2y + 5) + (2x + 3y - 4) = 0$ と表せます。

整理すると、$(k+2)x + (-2k+3)y + (5k-4) = 0$ となります。

直線 $l$ が原点 $(0, 0)$ を通るとき、$5k - 4 = 0$ より $k = \frac{4}{5}$ となります。

このとき、$(\frac{4}{5}+2)x + (-2\cdot\frac{4}{5}+3)y = 0$ となり、$\frac{14}{5}x + \frac{7}{5}y = 0$

よって $2x + y = 0$ となり、$y = -2x$ なので傾きは $-2$ です。

直線 $l$ が直線 $3x - y = 0$ と平行なとき、傾きが $3$ なので、

$-(k+2)/(-2k+3) = 3$ より、

$k + 2 = 3(2k - 3)$

$k + 2 = 6k - 9$

$5k = 11$

$k = \frac{11}{5}$

このとき、$(\frac{11}{5}+2)x + (-2\cdot\frac{11}{5}+3)y + (5\cdot\frac{11}{5}-4) = 0$ となり、

$\frac{21}{5}x - \frac{7}{5}y + 7 = 0$ となり、$3x - y + 5 = 0$ となります。

よって $y = 3x + 5$ となり、$y$ 切片は $5$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) $C = (2, 4)$, 三角形 $OBC$ の面積は $3$

(3) 傾きは $-2$, $y$ 切片は $5$