四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ で与えられている。三角形ABCの重心をGとし、線分DGを3:7に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ で与えられている。三角形ABCの重心をGとし、線分DGを3:7に内分する点をPとする。点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの重心Gの位置ベクトル $\vec{g}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表す。

重心Gの位置ベクトルは、各頂点の位置ベクトルの平均なので、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

次に、線分DGを3:7に内分する点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ を $\vec{g}$ と $\vec{d}$ で表す。内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{7\vec{g} + 3\vec{d}}{3+7} = \frac{7\vec{g} + 3\vec{d}}{10}$

最後に、$\vec{g}$ に $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ を代入して、$\vec{p}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ で表す。

$\vec{p} = \frac{7(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}) + 3\vec{d}}{10} = \frac{\frac{7}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + 3\vec{d}}{10}$

$\vec{p} = \frac{7(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + 9\vec{d}}{30}$

$\vec{p} = \frac{7}{30}\vec{a} + \frac{7}{30}\vec{b} + \frac{7}{30}\vec{c} + \frac{9}{30}\vec{d}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{7}{30}\vec{a} + \frac{7}{30}\vec{b} + \frac{7}{30}\vec{c} + \frac{3}{10}\vec{d}$