直角三角形ABCにおいて、$\angle B = 90^\circ$, $AB = 1$, $\sin A = \frac{3}{4}$のとき、$BC$と$CA$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle B = 90^\circ$, $AB = 1$, $\sin A = \frac{3}{4}$のとき、$BC$と$CA$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin A$の定義を確認します。直角三角形において、$\sin A = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$です。

この問題では$\sin A = \frac{3}{4}$なので、$\frac{BC}{CA} = \frac{3}{4}$となります。

$BC = 3x$、$CA = 4x$とおきます。

次に、三平方の定理を使います。直角三角形ABCにおいて、$AB^2 + BC^2 = CA^2$が成り立ちます。

問題の条件より、$AB = 1$、$BC = 3x$、$CA = 4x$なので、

$1^2 + (3x)^2 = (4x)^2$

$1 + 9x^2 = 16x^2$

$1 = 7x^2$

$x^2 = \frac{1}{7}$

$x = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

したがって、$BC = 3x = 3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

$CA = 4x = 4 \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{4\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

$BC = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

$CA = \frac{4\sqrt{7}}{7}$