円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=6, AD=4, AE=3, ∠BAC=∠DACであるとき、以下の問いに答えます。 (1) BE:EDを求めます。 (2) △ABE∽△ACDを示し、ECの長さを求めます。 (3) BDの長さを求めます。 (4) BCの長さを求めます。
2025/8/11
はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。
1. 問題の内容
円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=6, AD=4, AE=3, ∠BAC=∠DACであるとき、以下の問いに答えます。
(1) BE:EDを求めます。
(2) △ABE∽△ACDを示し、ECの長さを求めます。
(3) BDの長さを求めます。
(4) BCの長さを求めます。
2. 解き方の手順
(1) BE:EDを求める
∠BAC=∠DACより、弧BC=弧CDなので、BC=CD。
角の二等分線の性質より、BE:ED = AB:AD = 6:4 = 3:2
(2) △ABE∽△ACDを示し、ECの長さを求める。
△ABEと△ACDにおいて、
∠BAC=∠DAC（仮定）
∠ABE=∠ACD（円周角の定理）
よって、2角がそれぞれ等しいので、△ABE∽△ACD。
相似比はAB:AC=6:AC
ここでAE:AD=3:4なので、AC=4
したがって、△ABE∽△ACDの相似比は3:2。
よって、AE:AC=3:4より、EC=AC-AEなので、EC=4-3=1。
EC = 4 - 3 = 1ではない。
AE=3よりAE:AC=3:AC
△ABE ∽ △ACDより、AB:AC = AE:AD
6:AC = 3:4
3AC = 24
AC = 8
EC = AC - AE = 8 - 3 = 5
(3) BDの長さを求める
方べきの定理より、AE・AC = AB・AD
3*8 = 6*4
24=24
ここで、△ABE∽△ACDより、AB:AC=BE:CD=AE:ADなので、
6:8=BE:CD=3:4
BE = (6*4)/8 = 3
CD = (8*4)/6 = 16/3
また、△ABE∽△ACDよりAB:AC=AE:AD=BE:EDなので、
6:8=3:EDより、ED = (8*3)/6 = 4
BD = BE+ED = 3+4 = 7
(4) BCの長さを求める。
余弦定理を用いる。∠BAC=∠DAC=θとする。
△ABDにおいて、BD^2 = AB^2 + AD^2 -2 * AB * AD cos(θ)
7^2 = 6^2+4^2 - 2 * 6 * 4 cos(θ)
49 = 36+16-48 cos(θ)
49 = 52 - 48 cos(θ)
48 cos(θ) = 3
cos(θ) = 3/48 = 1/16
△ABCにおいて、BC^2 = AB^2+AC^2 - 2*AB*AC*cos(θ)
BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*(1/16)
BC^2 = 36+64 - 96/16
BC^2 = 100 - 6
BC^2 = 94
BC = √94
3. 最終的な答え
(1) BE:ED = 3:2
(2) △ABE∽△ACD, EC = 5
(3) BD = 7
(4) BC = √94