三角形$ABC$において、辺$AB$上に$AD:DB = 1:2$となる点$D$をとる。辺$BC$の中点を$E$、線分$CD$の中点を$F$とするとき、四角形$DEFA$の対角線$DF$と$AE$がそれぞれの中点で交わることを証明せよ。

1. 問題の内容

三角形$ABC$において、辺$AB$上に$AD:DB = 1:2$となる点$D$をとる。辺$BC$の中点を$E$、線分$CD$の中点を$F$とするとき、四角形$DEFA$の対角線$DF$と$AE$がそれぞれの中点で交わることを証明せよ。

2. 解き方の手順

以下の手順で証明する。

1. $AE$と$DF$の交点を$G$とする。

2. $\triangle ADC$において、$DF:FC = 1:1$であることから、メネラウスの定理を用いる。

3. $AE$と$DG$の比を計算する。

4. $AE$と$DF$が$G$で互いの中点となることを示す。

$\triangle ADC$において、直線$AE$についてメネラウスの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CG}{GA} = 1$

$AD:DB = 1:2$であり、$E$は$BC$の中点であるから、$BE:EC = 1:1$である。したがって、

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{CG}{GA} = 1$

$\frac{CG}{GA} = 2$

$GA:CG = 1:2$

次に、$\triangle CDF$において、点$G$は線分$DF$上にあり、$F$は$CD$の中点である。

線分$AE$と線分$DF$が点$G$で交わっている。

$DF$の中点を$H$とすると、$FH = HD$である。

$CG:GA = 2:1$なので、$AE$の中点を$I$とすると、$AI = IE$である。

$G$が$DF$の中点であり、$AE$の中点でもあることを示すことができれば、証明が完了する。

$F$は$CD$の中点なので、$CF = FD$である。

$AE$と$DF$の交点$G$は、メネラウスの定理より$CG:GA = 2:1$を満たす。

$\triangle ADE$と直線$FC$を考える．

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BC}{CE} \cdot \frac{EF}{FA} = 1$ではない。

ベクトルを用いて考える。

$\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}, \vec{c} = \vec{OC}$とする。

$\vec{d} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

$\vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

$\vec{f} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{c} + (2\vec{a} + \vec{b})/3}{2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c}}{6}$

$AE$の中点$M$は、$m \vec{OM} = \frac{\vec{a} + \vec{e}}{2} = \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})/2}{2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

$DF$の中点$N$は、$n \vec{ON} = \frac{\vec{d} + \vec{f}}{2} = \frac{(2\vec{a} + \vec{b})/3 + (2\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c})/6}{2} = \frac{4\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{a} + \vec{b} + 3\vec{c}}{12} = \frac{6\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c}}{12} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$

$M = N$なので、$AE$と$DF$はそれぞれの中点で交わる。

3. 最終的な答え

四角形$DEFA$の対角線$DF$と$AE$はそれぞれの中点で交わる。