三角形ABCにおいて、辺AB上にAD:DB=1:2となる点Dをとる。辺BCの中点をE、線分CDの中点をFとする。このとき、四角形DEFAの対角線DFとAEがそれぞれの中点で交わることを証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AB上にAD:DB=1:2となる点Dをとる。辺BCの中点をE、線分CDの中点をFとする。このとき、四角形DEFAの対角線DFとAEがそれぞれの中点で交わることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、点Aを原点とし、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$ となるように座標を設定します。

$\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{b}$

$\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

$\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{b}$

次に、線分DF上の点Pを $\vec{AP} = (1-s)\vec{AD} + s\vec{AF}$ と表します。（$s$ は実数）

同様に、線分AE上の点Pを $\vec{AP} = (1-t)\vec{AA} + t\vec{AE} = t\vec{AE}$ と表します。（$t$ は実数）

つまり、

$\vec{AP} = (1-s)\frac{1}{3}\vec{b} + s(\frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{b}) = (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}s + \frac{1}{6}s)\vec{b} + \frac{1}{2}s\vec{c} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{6}s)\vec{b} + \frac{1}{2}s\vec{c}$

$\vec{AP} = t(\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) = \frac{1}{2}t\vec{b} + \frac{1}{2}t\vec{c}$

$\vec{b}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので、

$\frac{1}{3} - \frac{1}{6}s = \frac{1}{2}t$

$\frac{1}{2}s = \frac{1}{2}t$

したがって、$s = t$ なので、

$\frac{1}{3} - \frac{1}{6}s = \frac{1}{2}s$

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}s + \frac{1}{6}s = \frac{3}{6}s = \frac{1}{2}s$

$s = \frac{2}{3}$

$\vec{AP} = \frac{1}{2}t\vec{b} + \frac{1}{2}t\vec{c} = \frac{1}{2}s\vec{b} + \frac{1}{2}s\vec{c} = \frac{1}{2}(\frac{2}{3})\vec{b} + \frac{1}{2}(\frac{2}{3})\vec{c} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

ここで、線分DFの中点をMとすると、

$\vec{AM} = \frac{\vec{AD} + \vec{AF}}{2} = \frac{\frac{1}{3}\vec{b} + (\frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{6}\vec{b})}{2} = \frac{\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}}{2} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

線分AEの中点をNとすると、

$\vec{AN} = \frac{\vec{AE}}{2} = \frac{\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}}{2} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

$\vec{AP} = (\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}) = 2 (\frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c})$

ここで、DFとAEの交点をPとすると、DFの中点とAEの中点が一致することを示す必要がある.

AD:DB = 1:2より、AD = (1/3)ABとなる。EはBCの中点、FはCDの中点である。

$\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = (1/3)\vec{b} - \vec{c}$

$\vec{AF} = \vec{AC} + (1/2)\vec{CD} = (1/2)(\vec{AD} + \vec{AC}) = (1/2)((1/3)\vec{b} + \vec{c}) = (1/6)\vec{b} + (1/2)\vec{c}$

DFの中点はMとすると $\vec{AM} = (1/2)(\vec{AD} + \vec{AF}) = (1/2)((1/3)\vec{b} + (1/6)\vec{b} + (1/2)\vec{c}) = (1/2)((1/2)\vec{b} + (1/2)\vec{c}) = (1/4)\vec{b} + (1/4)\vec{c}$

AEの中点はNとすると、$\vec{AN} = (1/2)\vec{AE} = (1/2)((1/2)\vec{b} + (1/2)\vec{c}) = (1/4)\vec{b} + (1/4)\vec{c}$

したがって、$\vec{AM} = \vec{AN}$ であり、MとNは一致する。つまり、DFとAEはそれぞれの中点で交わる。

3. 最終的な答え

四角形DEFAの対角線DFとAEはそれぞれの中点で交わる。