座標平面上に、中心を$O_1$とする円$C_1: x^2 + y^2 - 4y = 0$と、中心を$O_2$とする円$C_2: x^2 + y^2 - 2ax - 10y + 25 = 0$がある。ただし、$a$は正の定数とする。以下の問いに答えよ。 (1) $O_1$の座標と$C_1$の半径を求めよ。 (2) $C_1$と$C_2$が外接するときの$a$の値を求めよ。 (3) $a=3$のとき、$C_1$と$C_2$の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。また、$O_1$と$O_2$を通る直線と上記の直線とのなす角を求めよ。 (4) $a=3$のとき、$C_1$と$C_2$の交点および点$(1,3)$を通る円$C_3$の方程式を求め、その中心と半径を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に、中心を$O_1$とする円$C_1: x^2 + y^2 - 4y = 0$と、中心を$O_2$とする円$C_2: x^2 + y^2 - 2ax - 10y + 25 = 0$がある。ただし、$a$は正の定数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $O_1$の座標と$C_1$の半径を求めよ。

(2) $C_1$と$C_2$が外接するときの$a$の値を求めよ。

(3) $a=3$のとき、$C_1$と$C_2$の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。また、$O_1$と$O_2$を通る直線と上記の直線とのなす角を求めよ。

(4) $a=3$のとき、$C_1$と$C_2$の交点および点$(1,3)$を通る円$C_3$の方程式を求め、その中心と半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円$C_1$の方程式を変形する:

$x^2 + y^2 - 4y = 0$

$x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 4$

$x^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

よって、$O_1$の座標は$(0, 2)$であり、$C_1$の半径は$2$である。

(2)

円$C_2$の方程式を変形する:

$x^2 + y^2 - 2ax - 10y + 25 = 0$

$(x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 10y + 25) = a^2$

$(x - a)^2 + (y - 5)^2 = a^2$

よって、$O_2$の座標は$(a, 5)$であり、$C_2$の半径は$a$である。

$C_1$と$C_2$が外接するとき、$O_1O_2 = r_1 + r_2$ ($r_1, r_2$はそれぞれの半径)となる。

$O_1O_2 = \sqrt{(a - 0)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{a^2 + 9}$

$r_1 + r_2 = 2 + a$

$\sqrt{a^2 + 9} = 2 + a$

両辺を2乗すると、

$a^2 + 9 = 4 + 4a + a^2$

$5 = 4a$

$a = \frac{5}{4}$

(3)

$a=3$のとき、$C_1: x^2 + y^2 - 4y = 0$と$C_2: x^2 + y^2 - 6x - 10y + 25 = 0$の交点を通る直線の方程式は、$C_1 - C_2 = 0$で与えられる。

$(x^2 + y^2 - 4y) - (x^2 + y^2 - 6x - 10y + 25) = 0$

$6x + 6y - 25 = 0$

$6x + 6y - 25 = 0$

$O_1(0, 2)$と$O_2(3, 5)$を通る直線$l$の方程式は、

$\frac{y - 2}{x - 0} = \frac{5 - 2}{3 - 0} = 1$

$y - 2 = x$

$y = x + 2$

$x - y + 2 = 0$

直線$6x + 6y - 25 = 0$の傾きは$-\frac{6}{6} = -1$

直線$x - y + 2 = 0$の傾きは$1$

2直線のなす角$\theta$は、$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$で与えられる。

$\tan \theta = |\frac{-1 - 1}{1 + (-1)(1)}|$は定義できない。

これは、2直線が垂直であることを意味する。

よって、なす角$\theta$は$90^{\circ}$である。

(4)

$a=3$のとき、$C_1: x^2 + y^2 - 4y = 0$と$C_2: x^2 + y^2 - 6x - 10y + 25 = 0$の交点を通る円$C_3$の方程式は、$x^2 + y^2 - 4y + k(x^2 + y^2 - 6x - 10y + 25) = 0$で与えられる。

これが点$(1, 3)$を通るので、

$1 + 9 - 12 + k(1 + 9 - 6 - 30 + 25) = 0$

$-2 + k(-1) = 0$

$k = -2$

よって、

$x^2 + y^2 - 4y - 2(x^2 + y^2 - 6x - 10y + 25) = 0$

$x^2 + y^2 - 4y - 2x^2 - 2y^2 + 12x + 20y - 50 = 0$

$-x^2 - y^2 + 12x + 16y - 50 = 0$

$x^2 + y^2 - 12x - 16y + 50 = 0$

$(x^2 - 12x + 36) + (y^2 - 16y + 64) = 36 + 64 - 50 = 50$

$(x - 6)^2 + (y - 8)^2 = 50$

よって、$C_3$の中心は$(6, 8)$であり、半径は$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$である。

3. 最終的な答え

(1) $O_1$: (0, 2), $C_1$の半径: 2

(2) $a = \frac{5}{4}$

(3) $6x + 6y - 25 = 0$, $90^{\circ}$

(4) $x^2 + y^2 - 12x - 16y + 50 = 0$, 中心: (6, 8), 半径: $5\sqrt{2}$