底面の半径が4cm、母線の長さが16cmの円錐がある。底面の周上にある点Aから、円錐の側面を1周して元の点Aまで、ひもをゆるまないようにかける。 (1) 円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求める。 (2) ひもの長さが最も短くなるときの長さを求める。

1. 問題の内容

底面の半径が4cm、母線の長さが16cmの円錐がある。底面の周上にある点Aから、円錐の側面を1周して元の点Aまで、ひもをゆるまないようにかける。

(1) 円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求める。

(2) ひもの長さが最も短くなるときの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の展開図のおうぎ形の中心角を求める。

おうぎ形の弧の長さは、底面の円周の長さに等しい。

底面の円周は、$2 \pi r = 2 \pi \times 4 = 8 \pi$ cm。

おうぎ形の半径は、母線の長さに等しいので、16cm。

おうぎ形の中心角を$\theta$とすると、おうぎ形の弧の長さは、$2 \pi \times 16 \times \frac{\theta}{360} = 32 \pi \times \frac{\theta}{360}$。

これらが等しいので、$8 \pi = 32 \pi \times \frac{\theta}{360}$。

$\frac{8}{32} = \frac{\theta}{360}$

$\frac{1}{4} = \frac{\theta}{360}$

$\theta = \frac{360}{4} = 90$ 度。

(2) ひもの長さが最も短くなるとき、ひもは点Aから点Aへの最短距離を通る。これは円錐の展開図上では線分となる。

円錐の展開図において、おうぎ形の中心をOとし、点Aから出発して再び点Aに戻ってくる。展開図における線分AAの長さが、求めるひもの長さとなる。

このとき、三角形OAAは二等辺三角形となり、OA = OA = 16cm、角AOA = 90度。

線分AAの長さを$x$とすると、三平方の定理より、$x^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$。

よって、$x = \sqrt{512} = \sqrt{256 \times 2} = 16\sqrt{2}$ cm。

3. 最終的な答え

(1) 90

(2) $16\sqrt{2}$