座標平面上に円 $C_1: x^2 + y^2 - 4y = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 - 2ax - 10y + 25 = 0$ がある。$a$ は正の定数である。以下の問いに答えよ。 (1) $O_1$ の座標と $C_1$ の半径を求めよ。 (2) $C_1$ と $C_2$ が外接するときの $a$ の値を求めよ。 (3) $a=3$ のとき、$C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通る直線 $l$ の方程式を求めよ。また、$O_1$ と $O_2$ を通る直線と $l$ のなす角を求めよ。 (4) $a=3$ のとき、$C_1$ と $C_2$ の交点および点 $(1,3)$ を通る円 $C_3$ の方程式を求めよ。また、$C_3$ の中心と半径を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C_1: x^2 + y^2 - 4y = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 - 2ax - 10y + 25 = 0$ がある。$a$ は正の定数である。以下の問いに答えよ。

(1) $O_1$ の座標と $C_1$ の半径を求めよ。

(2) $C_1$ と $C_2$ が外接するときの $a$ の値を求めよ。

(3) $a=3$ のとき、$C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通る直線 $l$ の方程式を求めよ。また、$O_1$ と $O_2$ を通る直線と $l$ のなす角を求めよ。

(4) $a=3$ のとき、$C_1$ と $C_2$ の交点および点 $(1,3)$ を通る円 $C_3$ の方程式を求めよ。また、$C_3$ の中心と半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$C_1$ の方程式を平方完成すると、

$x^2 + (y-2)^2 = 4$

よって、$O_1$ の座標は $(0,2)$ であり、$C_1$ の半径は $2$ である。

(2)

$C_2$ の方程式を平方完成すると、

$(x-a)^2 + (y-5)^2 = a^2$

よって、$O_2$ の座標は $(a,5)$ であり、$C_2$ の半径は $a$ である。

$C_1$ と $C_2$ が外接するとき、$O_1 O_2 = r_1 + r_2$ である。

$\sqrt{(a-0)^2 + (5-2)^2} = 2 + a$

$\sqrt{a^2 + 9} = a + 2$

両辺を2乗して、

$a^2 + 9 = a^2 + 4a + 4$

$5 = 4a$

$a = \frac{5}{4}$

(3)

$a=3$ のとき、$C_2: x^2 + y^2 - 6x - 10y + 25 = 0$

$C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通る直線 $l$ の方程式は、$C_1 - C_2 = 0$ より、

$(x^2 + y^2 - 4y) - (x^2 + y^2 - 6x - 10y + 25) = 0$

$6x + 6y - 25 = 0$

$O_1 (0,2)$ と $O_2 (3,5)$ を通る直線の方程式は、

$\frac{y-2}{x-0} = \frac{5-2}{3-0} = 1$

$y = x + 2$

$x - y + 2 = 0$

直線 $l$ と直線 $O_1 O_2$ のなす角を $\theta$ とすると、

$\cos \theta = \frac{|6(1) + 6(-1)|}{\sqrt{6^2 + 6^2} \sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 0$

よって、$\theta = 90^\circ$

(4)

$C_1$ と $C_2$ の交点を通る円 $C_3$ の方程式は、

$x^2 + y^2 - 4y + k(x^2 + y^2 - 6x - 10y + 25) = 0$

これが $(1,3)$ を通るので、

$1 + 9 - 12 + k(1 + 9 - 6 - 30 + 25) = 0$

$-2 + k(-1) = 0$

$k = -2$

$x^2 + y^2 - 4y - 2(x^2 + y^2 - 6x - 10y + 25) = 0$

$-x^2 - y^2 + 12x + 16y - 50 = 0$

$x^2 + y^2 - 12x - 16y + 50 = 0$

$(x-6)^2 + (y-8)^2 = 36 + 64 - 50 = 50$

中心は $(6,8)$ で、半径は $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $O_1 (0,2)$, $C_1$ の半径は $2$

(2) $a = \frac{5}{4}$

(3) $6x + 6y - 25 = 0$, なす角は $90^\circ$

(4) $x^2 + y^2 - 12x - 16y + 50 = 0$, 中心は $(6,8)$、半径は $5\sqrt{2}$