正四面体ABCDにおいて、表面を通って頂点Bから頂点Dまで、ひもをゆるまないようにかける。辺AC上の点Pを通るようにひもをかけたとき、その長さを求める。正四面体の一辺の長さは8cmである。

1. 問題の内容

正四面体ABCDにおいて、表面を通って頂点Bから頂点Dまで、ひもをゆるまないようにかける。辺AC上の点Pを通るようにひもをかけたとき、その長さを求める。正四面体の一辺の長さは8cmである。

2. 解き方の手順

正四面体の展開図を考える。点Bから点Dまでひもを最短になるようにかけるということは、展開図においてBとDを結ぶ直線になるということである。

展開図において、B, A, C, Dが一直線上に並ぶように展開すると、$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle CAD = 60^\circ$より、$\angle BAD = 120^\circ$となる。

$\triangle ABD$において、余弦定理を用いると

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cdot \cos{120^\circ}$

$BD^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 64 + 64 + 64$

$BD^2 = 192$

$BD = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$8\sqrt{3}$ cm