与えられた三角関数の値を求めたり、三角形の辺の長さや面積を求める問題です。具体的には、以下の6つの問題を解きます。 (1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\cos(90^\circ - \theta)$ の値を求める。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan(180^\circ - \theta)$ の値を求める。 (3) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ において、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値をすべて求める。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$、$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\sqrt{5}$ のとき、BC の長さを求める。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、AC の長さを求める。 (6) $\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 7$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を求めたり、三角形の辺の長さや面積を求める問題です。具体的には、以下の6つの問題を解きます。

(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\cos(90^\circ - \theta)$ の値を求める。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan(180^\circ - \theta)$ の値を求める。

(3) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ において、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値をすべて求める。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$、$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\sqrt{5}$ のとき、BC の長さを求める。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、AC の長さを求める。

(6) $\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 7$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$

(2) $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta$

(3) $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の値は、$\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(4) 正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ が成り立つ。

$BC = 2R \sin A = 2\sqrt{5} \sin 45^\circ = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{10}$

(5) 余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19$

$AC = \sqrt{19}$

(6) 面積の公式より、$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin 60^\circ = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta$

(2) $-\tan\theta$

(3) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(4) $BC = \sqrt{10}$

(5) $AC = \sqrt{19}$

(6) $7\sqrt{3}$