2点 $A(2, -5)$ と $B(8, 7)$ から等距離にあり、かつ直線 $y = x - 1$ 上にある点の座標を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(2, -5)$ と $B(8, 7)$ から等距離にあり、かつ直線 $y = x - 1$ 上にある点の座標を求める。

2. 解き方の手順

求める点を $P(x, y)$ とおく。点 $P$ は直線 $y = x - 1$ 上にあるので、$y = x - 1$ が成り立つ。

点 $P$ は点 $A$ と点 $B$ から等距離にあるので、$AP = BP$ が成り立つ。

点 $A(2, -5)$ と点 $P(x, x - 1)$ の距離 $AP$ は、

$AP = \sqrt{(x - 2)^2 + (x - 1 - (-5))^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (x + 4)^2}$

点 $B(8, 7)$ と点 $P(x, x - 1)$ の距離 $BP$ は、

$BP = \sqrt{(x - 8)^2 + (x - 1 - 7)^2} = \sqrt{(x - 8)^2 + (x - 8)^2}$

$AP = BP$ より、$AP^2 = BP^2$ であるから、

$(x - 2)^2 + (x + 4)^2 = (x - 8)^2 + (x - 8)^2$

$x^2 - 4x + 4 + x^2 + 8x + 16 = x^2 - 16x + 64 + x^2 - 16x + 64$

$2x^2 + 4x + 20 = 2x^2 - 32x + 128$

$36x = 108$

$x = 3$

$y = x - 1 = 3 - 1 = 2$

よって、求める点の座標は $(3, 2)$ である。

3. 最終的な答え

$(3, 2)$