三角比、正弦定理、余弦定理に関する問題です。具体的には、以下の問題を解きます。 (1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos \theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\tan \theta$ を求める。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -5$ のとき、$\cos \theta$ を求める。 (3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = 2$ のとき、$AB$ を求める。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{6}$, $BC = 3\sqrt{2}$ のとき、$\angle C$ を求める。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB = 7$, $BC = 8$, $CA = 6$ のとき、$\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求める。 (6) 四面体 $PABC$ において、$PC = 4$, $\angle ACB = 120^\circ$, $\angle PCA = \angle PCB = 90^\circ$, $\angle PAC = \angle PBC = 45^\circ$ のとき、$AB$ を求める。

1. 問題の内容

三角比、正弦定理、余弦定理に関する問題です。具体的には、以下の問題を解きます。

(1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos \theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\tan \theta$ を求める。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -5$ のとき、$\cos \theta$ を求める。

(3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = 2$ のとき、$AB$ を求める。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{6}$, $BC = 3\sqrt{2}$ のとき、$\angle C$ を求める。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 7$, $BC = 8$, $CA = 6$ のとき、$\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求める。

(6) 四面体 $PABC$ において、$PC = 4$, $\angle ACB = 120^\circ$, $\angle PCA = \angle PCB = 90^\circ$, $\angle PAC = \angle PBC = 45^\circ$ のとき、$AB$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ なので、$\sin \theta > 0$ よって、$\sin \theta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{21}}{2}$

(2)

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + \tan^2 \theta = 1 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{26}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -5 < 0$ なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$

よって $\cos \theta < 0$ より $\cos \theta = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$

(3)

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{2}{\sin 30^\circ}$

$AB = \frac{2 \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$

(4)

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A$

$(3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + CA^2 - 2\sqrt{6} \cdot CA \cos 120^\circ$

$18 = 6 + CA^2 - 2\sqrt{6} \cdot CA \cdot (-\frac{1}{2})$

$CA^2 + \sqrt{6} CA - 12 = 0$

$CA = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4(1)(-12)}}{2} = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2} = \frac{-\sqrt{6} \pm 3\sqrt{6}}{2}$

$CA > 0$ より $CA = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

$AB = CA = \sqrt{6}$ より、$\triangle ABC$ は二等辺三角形。

$\angle B = \angle C$

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$120^\circ + 2\angle C = 180^\circ$

$2\angle C = 60^\circ$

$\angle C = 30^\circ$

(5)

余弦定理より、$\cos A = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2AB \cdot CA} = \frac{7^2 + 6^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{49 + 36 - 64}{84} = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\triangle ABC$ の面積 $= \frac{1}{2} AB \cdot CA \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{42\sqrt{15}}{8} = \frac{21\sqrt{15}}{4}$

(6)

$\triangle PAC$ と $\triangle PBC$ は $\angle PCA = \angle PCB = 90^\circ$ より、直角三角形

$\angle PAC = \angle PBC = 45^\circ$ なので、$\triangle PAC$ と $\triangle PBC$ は直角二等辺三角形

$AC = PC = BC = 4$

$\triangle ABC$ において、余弦定理より

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos \angle ACB = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cos 120^\circ = 16 + 16 - 32 \cdot (-\frac{1}{2}) = 32 + 16 = 48$

$AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan \theta = -\frac{\sqrt{21}}{2}$

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{26}}{26}$

(3) $AB = 2\sqrt{2}$

(4) $\angle C = 30^\circ$

(5) $\cos A = \frac{1}{4}$, $\triangle ABC$ の面積 $= \frac{21\sqrt{15}}{4}$

(6) $AB = 4\sqrt{3}$