与えられた三角関数の値を計算する問題です。具体的には、 (1) $\cos 15^\circ \sin 105^\circ - \cos 105^\circ \sin 15^\circ$ の値を求める。 (2) $\tan \theta = -2$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta + \cos \theta$ の値を求める。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$。 (3) $0^\circ \le x \le 180^\circ$ のとき、$2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$ の解 $x$ を求める。 (4) 直線 $y = \sqrt{3} x$ と直線 $y = -x$ がなす鋭角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を計算する問題です。具体的には、

(1) $\cos 15^\circ \sin 105^\circ - \cos 105^\circ \sin 15^\circ$ の値を求める。

(2) $\tan \theta = -2$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta + \cos \theta$ の値を求める。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$。

(3) $0^\circ \le x \le 180^\circ$ のとき、$2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$ の解 $x$ を求める。

(4) 直線 $y = \sqrt{3} x$ と直線 $y = -x$ がなす鋭角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角関数の公式 $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ を利用します。

$\cos 15^\circ \sin 105^\circ - \cos 105^\circ \sin 15^\circ = \sin 105^\circ \cos 15^\circ - \cos 105^\circ \sin 15^\circ = \sin(105^\circ - 15^\circ) = \sin 90^\circ = 1$

(2) $\tan \theta = -2$ より、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -2$。つまり、$\sin \theta = -2 \cos \theta$。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、 $(-2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$ となり、$4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$。

$5 \cos^2 \theta = 1$ なので、$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$。したがって、$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\tan \theta < 0$ なので、$\theta$ は第2象限の角であり、$\cos \theta < 0$ となります。

よって、$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$。

このとき、$\sin \theta = -2 \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$。

(3) $2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$ を解きます。$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を代入すると、

$2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0$。

$2 - 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$。

$-2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0$。

$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$。

$(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$。

したがって、$\sin x = \frac{1}{2}$ または $\sin x = -1$。

$0^\circ \le x \le 180^\circ$ のとき、$\sin x = \frac{1}{2}$ ならば $x = 30^\circ$ または $x = 150^\circ$。$\sin x = -1$ ならば $x = 270^\circ$ だが、これは範囲外。

したがって、$x = 30^\circ, 150^\circ$。

(4) $y = \sqrt{3}x$ と $y = -x$ のなす鋭角を求めます。

$y = \sqrt{3}x$ は $x$ 軸から $60^\circ$ の角をなします。

$y = -x$ は $x$ 軸から $135^\circ$ の角をなします（または $x$ 軸の負の方向から $45^\circ$ の角をなす）。

この2直線のなす角は、$135^\circ - 60^\circ = 75^\circ$ または $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ です。

鋭角なので、$75^\circ$ です。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

(3) $x = 30^\circ, 150^\circ$

(4) $\theta = 75^\circ$

それぞれの解答欄に記入するべき解答は以下の通りです。

1: 1

2: $-\frac{1}{\sqrt{5}}$

3: $\frac{1}{\sqrt{5}}$

4: $30^\circ, 150^\circ$

5: $75^\circ$