点Pはx軸の正の方向に毎秒4の速さで、点Qはy軸の正の方向に毎秒3の速さで進んでいます。ある時刻において、点Pの座標は(1, 0)、点Qの座標は(0, -3)です。この時刻から何秒後にPQ間の距離が最小になるかを求めます。

1. 問題の内容

点Pはx軸の正の方向に毎秒4の速さで、点Qはy軸の正の方向に毎秒3の速さで進んでいます。ある時刻において、点Pの座標は(1, 0)、点Qの座標は(0, -3)です。この時刻から何秒後にPQ間の距離が最小になるかを求めます。

2. 解き方の手順

この時刻から $t$ 秒後の点Pと点Qの座標を求めます。

点Pのx座標は $1 + 4t$、y座標は0なので、点Pの座標は $(1+4t, 0)$ となります。

点Qのx座標は0、y座標は $-3 + 3t$なので、点Qの座標は $(0, -3+3t)$ となります。

PQ間の距離を $L$ とすると、$L$ は以下の式で表されます。

$L = \sqrt{((1+4t) - 0)^2 + (0 - (-3+3t))^2}$

$L = \sqrt{(1+4t)^2 + (3-3t)^2}$

$L = \sqrt{1 + 8t + 16t^2 + 9 - 18t + 9t^2}$

$L = \sqrt{25t^2 - 10t + 10}$

$L^2$ が最小となるとき、$L$ も最小となります。そこで、

$f(t) = L^2 = 25t^2 - 10t + 10$

とおきます。$f(t)$ を最小にする $t$ を求めるために、平方完成を行います。

$f(t) = 25(t^2 - \frac{2}{5}t) + 10$

$f(t) = 25(t^2 - \frac{2}{5}t + (\frac{1}{5})^2 - (\frac{1}{5})^2) + 10$

$f(t) = 25(t - \frac{1}{5})^2 - 25(\frac{1}{25}) + 10$

$f(t) = 25(t - \frac{1}{5})^2 - 1 + 10$

$f(t) = 25(t - \frac{1}{5})^2 + 9$

$f(t)$ は $t = \frac{1}{5}$ のとき最小値をとります。

したがって、PQ間の距離が最小となるのは、この時刻から $\frac{1}{5}$ 秒後です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}$ 秒後