直方体ABCD-EFGHにおいて、$AE=\sqrt{10}$, $AF=8$, $AH=10$, $\angle BAE = \angle DAE = 90^{\circ}$ である。 (1) 線分FHの長さを求めよ。 (2) $\cos{\angle FAH}$ の値を求めよ。 (3) 三角形AFHの面積を求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AE=\sqrt{10}$, $AF=8$, $AH=10$, $\angle BAE = \angle DAE = 90^{\circ}$ である。

(1) 線分FHの長さを求めよ。

(2) $\cos{\angle FAH}$ の値を求めよ。

(3) 三角形AFHの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) FHの長さを求める。

直方体であることから、$\angle AEB = \angle AEH = \angle AFB = \angle AHD = 90^{\circ}$である。

△AEFにおいて、三平方の定理より、$AE^2 + EF^2 = AF^2$なので、

$(\sqrt{10})^2 + EF^2 = 8^2$

$10 + EF^2 = 64$

$EF^2 = 54$

$EF = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$

△AEHにおいて、三平方の定理より、$AE^2 + EH^2 = AH^2$なので、

$(\sqrt{10})^2 + EH^2 = 10^2$

$10 + EH^2 = 100$

$EH^2 = 90$

$EH = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

△EFHにおいて、三平方の定理より、$EF^2 + EH^2 = FH^2$なので、

$(3\sqrt{6})^2 + (3\sqrt{10})^2 = FH^2$

$54 + 90 = FH^2$

$FH^2 = 144$

$FH = 12$

(2) $\cos{\angle FAH}$の値を求める。

△AFHにおいて、余弦定理より、

$FH^2 = AF^2 + AH^2 - 2 \cdot AF \cdot AH \cdot \cos{\angle FAH}$

$12^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos{\angle FAH}$

$144 = 64 + 100 - 160 \cos{\angle FAH}$

$144 = 164 - 160 \cos{\angle FAH}$

$160 \cos{\angle FAH} = 164 - 144$

$160 \cos{\angle FAH} = 20$

$\cos{\angle FAH} = \frac{20}{160} = \frac{1}{8}$

(3) 三角形AFHの面積を求める。

$\sin^2{\angle FAH} + \cos^2{\angle FAH} = 1$より、

$\sin^2{\angle FAH} = 1 - \cos^2{\angle FAH} = 1 - (\frac{1}{8})^2 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

$\sin{\angle FAH} = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

三角形AFHの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AF \cdot AH \cdot \sin{\angle FAH}$で求められるので、

$\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3\sqrt{7} = 15\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $FH = 12$

(2) $\cos{\angle FAH} = \frac{1}{8}$

(3) 三角形AFHの面積は、$15\sqrt{7}$