(1) 3点 A(-2, 1), B(0, 5), C(1, 4) を頂点とする三角形 ABC について、重心の座標、外接円の半径、外心の座標を求める。 (2) 三角形 PQR において、∠P = 15°, PR = 50, QR = 50√2 - √3 のとき、∠Q を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点 A(-2, 1), B(0, 5), C(1, 4) を頂点とする三角形 ABC について、重心の座標、外接円の半径、外心の座標を求める。

(2) 三角形 PQR において、∠P = 15°, PR = 50, QR = 50√2 - √3 のとき、∠Q を求める。

2. 解き方の手順

(1)

重心の座標は、各頂点の座標の平均を取ることで求められる。

ア：$x$ 座標の平均: $\frac{-2 + 0 + 1}{3} = -\frac{1}{3}$

イ：1

ウエ：$y$ 座標の平均: $\frac{1 + 5 + 4}{3} = \frac{10}{3}$

オ：3

三角形ABCの外接円の半径は正弦定理を用いることで求める。

まず、三角形ABCの各辺の長さを計算する。

$AB = \sqrt{(-2-0)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(0-1)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$CA = \sqrt{(1-(-2))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

余弦定理より

$cosB = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{20+2-18}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$sinB = \sqrt{1 - cos^2B} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

正弦定理より $\frac{AC}{sinB} = 2R$ (Rは外接円の半径)

$2R = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

よって $R = \sqrt{5}$

カ：5

三角形ABCの外心の座標は各頂点からの距離が等しい点である。

外心を (x, y) とすると

$(x+2)^2 + (y-1)^2 = x^2 + (y-5)^2 = (x-1)^2 + (y-4)^2 = 5$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 - 10y + 25$

$4x + 8y = 20$

$x+2y=5 \rightarrow x = 5 - 2y$

$x^2 + (y-5)^2 = (x-1)^2 + (y-4)^2$

$(5-2y)^2 + y^2 - 10y + 25 = (4-2y)^2 + y^2 - 8y + 16$

$25-20y+4y^2 + y^2 - 10y + 25 = 16-16y+4y^2 + y^2 - 8y + 16$

$-30y+50 = -24y + 32$

$6y = 18$

$y = 3$

$x = 5 - 2*3 = -1$

外心は (-1, 3)

キー1

ク：3

(2)

$\frac{QR}{sinP} = \frac{PR}{sinQ}$ より

$\frac{50\sqrt{2}-\sqrt{3}}{sin15^\circ} = \frac{50}{sinQ}$

$sin15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$sinQ = \frac{50 \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4(50\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4(\sqrt{2}-\sqrt{3}/50)}$

$sinQ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{4} \approx 0.433$

$Q \approx 25.63^\circ$ または $154.36^\circ$.

$Q = 45^\circ$ より $R = 120^\circ$, 和は $15+45+120 = 180$.

$Q = 75^\circ$ はありえない. よって $Q=45^\circ$

3. 最終的な答え

(1)

ア: -1/3, イ: 1, ウエ: 10/3, オ: 3, カ: $\sqrt{5}$, キ: -1, ク: 3

(2)

ケコ: 45