三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=10$, $CA=12$とする。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。 (1) $\cos C$ を求めよ。 (2) 線分BDの長さ、線分ADの長さを求めよ。 (3) 三角形ABCの面積S、三角形ACDの面積Tを求めよ。 (4) 三角形ABCの内接円の半径$r_1$と三角形ACDの内接円の半径$r_2$の比 $\frac{r_1}{r_2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=10$, $CA=12$とする。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。

(1) $\cos C$ を求めよ。

(2) 線分BDの長さ、線分ADの長さを求めよ。

(3) 三角形ABCの面積S、三角形ACDの面積Tを求めよ。

(4) 三角形ABCの内接円の半径$r_1$と三角形ACDの内接円の半径$r_2$の比 $\frac{r_1}{r_2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて $\cos C$ を求める。

$$\cos C = \frac{BC^2 + CA^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot CA}$$

(2) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 8:12 = 2:3$。

$BC=10$より、$BD = \frac{2}{2+3} \cdot 10 = \frac{2}{5} \cdot 10 = 4$。

三角形ABDにおいて、余弦定理より

$$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos B$$

$\cos B$を求める。

$$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{8^2 + 10^2 - 12^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = \frac{64+100-144}{160} = \frac{20}{160} = \frac{1}{8}$$

$$AD^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \frac{1}{8} = 64 + 16 - 8 = 72$$

$AD = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

(3) ヘロンの公式を用いて三角形ABCの面積Sを求める。

$s = \frac{AB+BC+CA}{2} = \frac{8+10+12}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)} = \sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = 15\sqrt{7}$$

三角形ACDの面積Tは、三角形ABCの面積Sの$\frac{DC}{BC}$倍である。

$DC = BC - BD = 10 - 4 = 6$

$$T = \frac{DC}{BC} \cdot S = \frac{6}{10} \cdot 15\sqrt{7} = \frac{3}{5} \cdot 15\sqrt{7} = 9\sqrt{7}$$

(4) 三角形ABCの内接円の半径$r_1$は $S = \frac{1}{2}r_1 (AB+BC+CA)$ より $15\sqrt{7} = \frac{1}{2}r_1 \cdot 30$

$r_1 = \sqrt{7}$

三角形ACDの内接円の半径$r_2$は $T = \frac{1}{2}r_2 (AC+CD+AD)$ より $9\sqrt{7} = \frac{1}{2}r_2 (12+6+6\sqrt{2})$

$18\sqrt{7} = r_2 (18+6\sqrt{2})$

$r_2 = \frac{18\sqrt{7}}{18+6\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{7}}{3+\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{7}(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{3\sqrt{7}(3-\sqrt{2})}{9-2} = \frac{3\sqrt{7}(3-\sqrt{2})}{7}$

$$\frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{7}}{\frac{3\sqrt{7}(3-\sqrt{2})}{7}} = \frac{7}{3(3-\sqrt{2})} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{3(9-2)} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{3 \cdot 7} = \frac{3+\sqrt{2}}{3}$$

3. 最終的な答え

(1) $\cos C = \frac{7}{12}$

(2) $BD = 4$, $AD = 6\sqrt{2}$

(3) $S = 15\sqrt{7}$, $T = 9\sqrt{7}$

(4) $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3+\sqrt{2}}{3}$