2点A(2, -5)とB(8, 7)から等距離にあり、かつ直線 $y = x - 1$ 上にある点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

2点A(2, -5)とB(8, 7)から等距離にあり、かつ直線 $y = x - 1$ 上にある点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

求める点の座標をP(x, y)とする。

Pは直線 $y = x - 1$ 上にあるので、

$y = x - 1$

と表せる。したがって、P(x, x - 1)とおける。

PはA, Bから等距離にあるので、AP = BPである。

AP = BPより、AP^2 = BP^2である。

AP^2 = $(x - 2)^2 + (x - 1 - (-5))^2 = (x - 2)^2 + (x + 4)^2 = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 8x + 16 = 2x^2 + 4x + 20$

BP^2 = $(x - 8)^2 + (x - 1 - 7)^2 = (x - 8)^2 + (x - 8)^2 = x^2 - 16x + 64 + x^2 - 16x + 64 = 2x^2 - 32x + 128$

よって、

$2x^2 + 4x + 20 = 2x^2 - 32x + 128$

$36x = 108$

$x = 3$

$y = x - 1 = 3 - 1 = 2$

したがって、求める点の座標は(3, 2)。

3. 最終的な答え

(3, 2)