3つの直線 $y=x$、 $y=-x$、 $y=\frac{1}{3}x + b$ が与えられている。直線 $y=x$ と $y=\frac{1}{3}x + b$ の交点をA、直線 $y=-x$ と $y=\frac{1}{3}x + b$ の交点をBとする。また、直線 $y=\frac{1}{3}x + b$ と $y$軸との交点をCとする。このとき、三角形OBCと三角形OACの面積の比を求めよ。ただし、$b > 0$とする。

1. 問題の内容

3つの直線 $y=x$、 $y=-x$、 $y=\frac{1}{3}x + b$ が与えられている。直線 $y=x$ と $y=\frac{1}{3}x + b$ の交点をA、直線 $y=-x$ と $y=\frac{1}{3}x + b$ の交点をBとする。また、直線 $y=\frac{1}{3}x + b$ と $y$軸との交点をCとする。このとき、三角形OBCと三角形OACの面積の比を求めよ。ただし、$b > 0$とする。

2. 解き方の手順

三角形OBCと三角形OACの底辺をOCと考えると、それぞれの面積は $\frac{1}{2} \times OC \times (Bのx座標の絶対値)$ と $\frac{1}{2} \times OC \times (Aのx座標)$ で表される。

面積比は高さの比に等しいから、(点Bのx座標の絶対値):(点Aのx座標の値)で求められる。

点Bのx座標を求める。

$y = -x$と$y = \frac{1}{3}x + b$を連立して解く。

$-x = \frac{1}{3}x + b$

$-\frac{4}{3}x = b$

$x = -\frac{3}{4}b$

したがって、点Bのx座標の絶対値は$\frac{3}{4}b$

点Aのx座標を求める。

$y = x$と$y = \frac{1}{3}x + b$を連立して解く。

$x = \frac{1}{3}x + b$

$\frac{2}{3}x = b$

$x = \frac{3}{2}b$

したがって、点Aのx座標は$\frac{3}{2}b$

面積比は

$\frac{3}{4}b : \frac{3}{2}b = \frac{3}{4} : \frac{3}{2} = \frac{1}{4} : \frac{1}{2} = 1:2$

3. 最終的な答え

1:2