問題は、実数 $x, y$ に関する３つの命題の真偽を判定することです。 (1) $xy \ge 1 \implies x+y \ge 2$ (2) $x+y \le 2 \implies x \le 1$ または $y \le 1$ (3) $x^2+y^2 \le 1 \implies x^4+y^4 \le 1$

1. 問題の内容

問題は、実数 $x, y$ に関する３つの命題の真偽を判定することです。

(1) $xy \ge 1 \implies x+y \ge 2$

(2) $x+y \le 2 \implies x \le 1$ または $y \le 1$

(3) $x^2+y^2 \le 1 \implies x^4+y^4 \le 1$

2. 解き方の手順

(1) $xy \ge 1 \implies x+y \ge 2$ について

$xy \ge 1$ のとき、$x$ と $y$ は同符号です。

$x, y > 0$ のとき、相加相乗平均の関係より

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} \ge \sqrt{1} = 1$

よって、$x+y \ge 2$ となります。

$x, y < 0$ のとき、$x+y < 0$ なので、$x+y \ge 2$ にはなりません。

例えば、$x = -1$, $y = -1$ のとき、$xy = 1$ ですが、$x+y = -2$ なので、$x+y \ge 2$ は成り立ちません。

したがって、この命題は偽です。

(2) $x+y \le 2 \implies x \le 1$ または $y \le 1$ について

この命題の対偶を考えると

$x > 1$ かつ $y > 1 \implies x+y > 2$

これは明らかに真です。

なぜなら、$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば、$x+y > 1+1 = 2$ だからです。

対偶が真なので、元の命題も真です。

(3) $x^2+y^2 \le 1 \implies x^4+y^4 \le 1$ について

$x^2+y^2 \le 1$ より、$-1 \le x \le 1$ かつ $-1 \le y \le 1$ です。

$x^2 \le 1$ より、$x^4 \le x^2$

$y^2 \le 1$ より、$y^4 \le y^2$

したがって、$x^4+y^4 \le x^2+y^2 \le 1$ となり、この命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 真

(3) 真