初項1, 公比2, 項数nの等比数列において、各項の和をS, 積をP, 逆数の和をTとするとき、等式 $S^n = P^2 T^n$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

初項1, 公比2, 項数nの等比数列において、各項の和をS, 積をP, 逆数の和をTとするとき、等式 $S^n = P^2 T^n$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、S, P, Tをそれぞれ求める。

S (和)は、等比数列の和の公式より、

$S = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

P (積)は、等比数列の積の公式は、各項を掛け合わせると

$P = 1 \cdot 2 \cdot 2^2 \cdots 2^{n-1} = 2^{0+1+2+\cdots+(n-1)}$

指数の部分は、初項0、末項n-1、項数nの等差数列の和だから、$\frac{n(n-1)}{2}$となる。

したがって、$P = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}$

T (逆数の和)は、数列$\{\frac{1}{2^{k-1}}\}$の初項から第n項までの和なので、

$T = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}$

これは、初項1, 公比1/2, 項数nの等比数列の和なので、

$T = \frac{1(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{2}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}}$

次に、与えられた等式$S^n = P^2 T^n$の右辺を計算する。

$P^2 T^n = (2^{\frac{n(n-1)}{2}})^2 (\frac{2^n - 1}{2^{n-1}})^n = 2^{n(n-1)} \frac{(2^n - 1)^n}{2^{n(n-1)}} = (2^n - 1)^n$

したがって、$P^2 T^n = (2^n - 1)^n = S^n$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S^n = P^2 T^n$ が成り立つ。