問題は、次の等式を満たす定数 $a$, $b$, $c$ を求めることです。 $\frac{3}{x^3-1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$

1. 問題の内容

問題は、次の等式を満たす定数 $a$, $b$, $c$ を求めることです。

$\frac{3}{x^3-1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の右辺を通分します。

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$ なので、

$\frac{3}{x^3-1} = \frac{a(x^2+x+1) + (bx+c)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

分母が等しいので、分子も等しくなります。

$3 = a(x^2+x+1) + (bx+c)(x-1)$

右辺を展開します。

$3 = ax^2 + ax + a + bx^2 - bx + cx - c$

$3 = (a+b)x^2 + (a-b+c)x + (a-c)$

この式がすべての $x$ に対して成り立つためには、$x^2$、$x$、定数項の係数がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。

$a+b = 0$

$a-b+c = 0$

$a-c = 3$

最初の式から、$b = -a$ が得られます。

これを2番目の式に代入すると、$a - (-a) + c = 0$、つまり $2a+c = 0$ が得られます。

3番目の式から、$c = a-3$ が得られます。

$2a + c = 0$ に $c = a-3$ を代入すると、$2a + (a-3) = 0$、つまり $3a - 3 = 0$ となります。

したがって、$3a = 3$ となり、$a = 1$ が得られます。

$b = -a$ なので、$b = -1$ です。

$c = a-3$ なので、$c = 1-3 = -2$ です。

したがって、$a = 1$, $b = -1$, $c = -2$ です。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -1$

$c = -2$