定義域 $-2 \le x \le 4$ である2つの関数 $y = ax^2$ ($a \ne 0$) と $y = bx+2$ ($b < 0$) の値域が一致するときの定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定義域 $-2 \le x \le 4$ である2つの関数 $y = ax^2$ ($a \ne 0$) と $y = bx+2$ ($b < 0$) の値域が一致するときの定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = bx+2$ は一次関数であり、$b < 0$ なので、定義域 $-2 \le x \le 4$ において単調減少する。したがって、

$x = -2$ のとき最大値 $y = -2b + 2$ をとり、

$x = 4$ のとき最小値 $y = 4b + 2$ をとる。

$y = ax^2$ は二次関数であり、$a \ne 0$ である。定義域 $-2 \le x \le 4$ における値域が $y = bx+2$ と一致するためには、$y=ax^2$ の値域が $[4b+2, -2b+2]$ でなければならない。

二次関数の場合分けを行う。

(i) $a > 0$ のとき、$y = ax^2$ は下に凸な放物線である。

$x = 0$ を含むので最小値は $0$ となる。したがって、$y = ax^2$ の値域は $[0, \max\{a(-2)^2, a(4)^2\}] = [0, 16a]$ となる。

このとき、$4b+2 = 0$ より $b = -\frac{1}{2}$ となる。

$-2b+2 = -2(-\frac{1}{2})+2 = 1+2=3$

値域が一致するためには、$16a=3$ でなければならないので、$a=\frac{3}{16}$

このとき、$a > 0$ かつ $b<0$ の条件を満たす。

(ii) $a < 0$ のとき、$y = ax^2$ は上に凸な放物線である。

このとき、$x = 0$ で最小となり、$x = 4$ で最大となる。

$y = ax^2$ は $x = 0$ で最大値 $0$ をとる。また、$x = 4$ で最小値 $16a$ をとる。$x = -2$ で最小値 $4a$ をとる。

$y = ax^2$ の最大値は $0$ なので、$y = bx+2$ の最大値が $0$ となる必要がある。$-2b+2=0$ となるので、$b = 1$ となるが、$b < 0$ という条件に反する。

したがって、$a<0$ はありえない。

$a = \frac{3}{16}$, $b = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = ax^2$ の値域は $[0, 3]$ であり、$y = bx+2$ の値域は $[0, 3]$ となり一致する。

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{16}$

$b = -\frac{1}{2}$