長さ24cmの針金を折り曲げて長方形を作ったところ、対角線の長さが$4\sqrt{5}$cmになった。この長方形の長い方の辺の長さを求める。

1. 問題の内容

長さ24cmの針金を折り曲げて長方形を作ったところ、対角線の長さが$4\sqrt{5}$cmになった。この長方形の長い方の辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

長方形の縦の長さを$x$cm、横の長さを$y$cmとします。

長方形の周の長さは24cmなので、

$2x + 2y = 24$

$x + y = 12$

$y = 12 - x$

長方形の対角線の長さは$4\sqrt{5}$cmなので、三平方の定理より、

$x^2 + y^2 = (4\sqrt{5})^2$

$x^2 + y^2 = 16 \times 5$

$x^2 + y^2 = 80$

$y = 12 - x$を代入して、

$x^2 + (12 - x)^2 = 80$

$x^2 + (144 - 24x + x^2) = 80$

$2x^2 - 24x + 144 = 80$

$2x^2 - 24x + 64 = 0$

$x^2 - 12x + 32 = 0$

$(x - 4)(x - 8) = 0$

$x = 4$または$x = 8$

$x = 4$のとき、$y = 12 - 4 = 8$

$x = 8$のとき、$y = 12 - 8 = 4$

いずれの場合も、長方形の辺の長さは4cmと8cmなので、長い方の辺の長さは8cmである。

3. 最終的な答え

8 cm