全体集合$U$とその部分集合$A$, $B$について、以下の情報が与えられています。 $n(U) = 50$, $n(A) = 36$, $n(B) = 17$, $n(\overline{A} \cap B) = 7$ このとき、以下の値を求めます。 (1) $n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(A \cap \overline{B})$ (4) $n(\overline{A \cup \overline{B}})$

1. 問題の内容

全体集合$U$とその部分集合$A$, $B$について、以下の情報が与えられています。

$n(U) = 50$, $n(A) = 36$, $n(B) = 17$, $n(\overline{A} \cap B) = 7$

このとき、以下の値を求めます。

(1) $n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(A \cap \overline{B})$

(4) $n(\overline{A \cup \overline{B}})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cap B)$ を求める。

$n(\overline{A} \cap B) = 7$という条件から、$B$に属するが$A$に属さない要素の数が7であることがわかります。

$n(B) = 17$なので、$n(A \cap B) = n(B) - n(\overline{A} \cap B)$を使って、$A$と$B$の両方に属する要素の数を計算します。

(2) $n(A \cup B)$ を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$の公式を使います。

(3) $n(A \cap \overline{B})$ を求める。

$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$が成り立つので、$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$を使って求めます。

(4) $n(\overline{A \cup \overline{B}})$ を求める。

ド・モルガンの法則より、$\overline{A \cup \overline{B}} = \overline{A} \cap B$です。

したがって、$n(\overline{A \cup \overline{B}}) = n(\overline{A} \cap B)$なので、与えられた条件から直接値を求められます。

それでは、具体的な計算を行います。

(1) $n(A \cap B) = n(B) - n(\overline{A} \cap B) = 17 - 7 = 10$

(2) $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 36 + 17 - 10 = 43$

(3) $n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 36 - 10 = 26$

(4) $n(\overline{A \cup \overline{B}}) = n(\overline{A} \cap B) = 7$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 10$

(2) $n(A \cup B) = 43$

(3) $n(A \cap \overline{B}) = 26$

(4) $n(\overline{A \cup \overline{B}}) = 7$