与えられた関数 $f(x)$ が連続であることを示す問題です。関数は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が連続であることを示す問題です。関数は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

関数が連続であることを示すためには、任意の点 $x=a$ で以下の3つの条件が成り立つことを示す必要があります。

1. $f(a)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

$x \neq 0$ のとき、$f(x) = x \sin(\frac{1}{x})$ であり、$x=0$ 以外の任意の点では、$f(x)$ は連続です。したがって、$x=0$ での連続性のみを検討する必要があります。

1. $f(0)$ は定義されており、$f(0) = 0$ です。

2. $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在するかを調べます。$\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x})$ を計算します。

$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$ であるため、$-|x| \leq x \sin(\frac{1}{x}) \leq |x|$ が成り立ちます。

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ であるから、挟み撃ちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$ となります。

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ であり、$f(0) = 0$ であるため、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立ちます。

したがって、関数 $f(x)$ は $x=0$ で連続です。$x=0$ 以外の点でも連続なので、$f(x)$ は全実数で連続です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は連続である。