与えられた6つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - x)$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$ (5) $\lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x}$

1. 問題の内容

与えられた6つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - x)$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

(5) $\lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}$

分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{1 + 1}{1^2 + 1 + 1} = \frac{2}{3}$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x + 1} - x)$

有理化を行います。

$\sqrt{x^2 + x + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + x + 1} - x)(\sqrt{x^2 + x + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} = \frac{x^2 + x + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x}$

分子と分母を$x$で割ります。

$\frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1} = \frac{1 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x}$

$-1 \le \sin 3x \le 1$ なので、

$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin 3x}{x} \le \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

したがって、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin 3x}{x} = 0$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$ (既知の結果)

(5) $\lim_{x \to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

$y = (1 + x + x^2)^{1/x}$とおくと、$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1 + x + x^2)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x + x^2)}{x}$ を考えます。

$\ln(1+u) \approx u$ ($u \to 0$) なので、$\ln(1 + x + x^2) \approx x + x^2$ ($x \to 0$)

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x + x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + x^2}{x} = \lim_{x \to 0} (1 + x) = 1$

したがって、$\lim_{x \to 0} \ln y = 1$

$\lim_{x \to 0} y = e^1 = e$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \sin(1/x)}{\frac{\sin x}{x}}$

$-1 \le \sin(1/x) \le 1$ なので、$-|x| \le x \sin(1/x) \le |x|$

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$

$\lim_{x \to 0} |x| = 0$

はさみうちの原理より、$\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$

$\lim_{x \to 0} \frac{x \sin(1/x)}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $0$

(4) $1$

(5) $e$

(6) $0$