$a, b, c$ は正の定数とする。$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で定義された2つの関数 $f(\theta) = (1-\sqrt{3}a)\sin^2\theta + 2a\sin\theta\cos\theta + (1+\sqrt{3}a)\cos^2\theta$ と $g(\theta) = b\sin c\theta + b$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(\theta)$ を $a, \sin 2\theta, \cos 2\theta$ を用いて表し、$f(\theta)$ の最大値と最小値を求める。 (2) $g(\theta)$ の最小値が0であるとき、$c$ の値の範囲を求め、さらに $f(\theta)$ と $g(\theta)$ の最大値と最小値がそれぞれ一致するならば、$a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a, b, c$ は正の定数とする。$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で定義された2つの関数

$f(\theta) = (1-\sqrt{3}a)\sin^2\theta + 2a\sin\theta\cos\theta + (1+\sqrt{3}a)\cos^2\theta$ と $g(\theta) = b\sin c\theta + b$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(\theta)$ を $a, \sin 2\theta, \cos 2\theta$ を用いて表し、$f(\theta)$ の最大値と最小値を求める。

(2) $g(\theta)$ の最小値が0であるとき、$c$ の値の範囲を求め、さらに $f(\theta)$ と $g(\theta)$ の最大値と最小値がそれぞれ一致するならば、$a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(\theta)$ を変形する。

$\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$, $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$, $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$ を用いると、

$f(\theta) = (1-\sqrt{3}a)\frac{1-\cos 2\theta}{2} + 2a\frac{1}{2}\sin 2\theta + (1+\sqrt{3}a)\frac{1+\cos 2\theta}{2}$

$= \frac{1-\sqrt{3}a}{2} - \frac{1-\sqrt{3}a}{2}\cos 2\theta + a\sin 2\theta + \frac{1+\sqrt{3}a}{2} + \frac{1+\sqrt{3}a}{2}\cos 2\theta$

$= 1 + a\sin 2\theta + \sqrt{3}a\cos 2\theta$

$= 1 + 2a(\frac{1}{2}\sin 2\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\theta)$

$= 1 + 2a(\cos\frac{\pi}{3}\sin 2\theta + \sin\frac{\pi}{3}\cos 2\theta)$

$= 1 + 2a\sin(2\theta + \frac{\pi}{3})$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より $\frac{\pi}{3} \le 2\theta + \frac{\pi}{3} \le \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{3})$ の最大値は1 ($2\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = \frac{\pi}{12}$)、

最小値は $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($2\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ すなわち $\theta = \frac{\pi}{2}$)。

よって、$f(\theta)$ の最大値は $1 + 2a$, 最小値は $1 - \sqrt{3}a$ である。

(2) $g(\theta) = b\sin c\theta + b = b(\sin c\theta + 1)$

$g(\theta)$ の最小値が0であるとき、$\sin c\theta = -1$ となる $\theta$ が存在する必要がある。

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ なので、$0 \le c\theta \le \frac{c\pi}{2}$.

$\sin c\theta = -1$ より $c\theta = \frac{3\pi}{2}$ なので、$\frac{3\pi}{2} \le \frac{c\pi}{2}$. よって $3 \le c$.

$c \ge 3$.

$g(\theta)$ の最大値は $2b$, 最小値は $0$.

$f(\theta)$ の最大値は $1+2a$, 最小値は $1-\sqrt{3}a$.

最大値と最小値がそれぞれ一致するから、

$1+2a = 2b$, $1-\sqrt{3}a = 0$.

$1 = \sqrt{3}a$ より $a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$2b = 1+2a = 1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$ より $b = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3+2\sqrt{3}}{6}$.

3. 最終的な答え

$f(\theta) = 1 + 2a\sin(2\theta + \frac{\pi}{3})$

$f(\theta)$ は $\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき最大値 $1+2a$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最小値 $1-\sqrt{3}a$

$c \ge 3$

$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $b = \frac{3+2\sqrt{3}}{6}$