次の4つの極限について、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$ (3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$ (4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

1. 問題の内容

次の4つの極限について、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$

(3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$

(4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$

$x \to 1+0$ なので、$x > 1$ です。したがって、$x-1 > 0$ となり、$|x-1| = x-1$ です。

よって、

$\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} 1 = 1$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$

$x \to 2-0$ なので、$x < 2$ です。したがって、$x-2 < 0$ です。

$x$ が2に近づくとき、$x-2$ は0に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2} = -\infty$ となり、発散します。

(3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$

$x \to -2-0$ なので、$x < -2$ です。したがって、$x+2 < 0$ です。

$(x+2)^2$ は常に正の値であり、$x$ が -2 に近づくとき、$(x+2)^2$ は0に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2} = \infty$ となり、発散します。

(4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

$x$ が -1 に近づくとき、$|x+1|$ は0に近づきます。

$|x+1|$ は常に正の値なので、$\frac{1}{|x+1|}$ は正の無限大に発散します。

したがって、$\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|} = \infty$ となり、発散します。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 発散

(3) 発散

(4) 発散