$a$は正の定数とする。次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{-a}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} dx$ (2) $\int_{-a}^{a} \frac{x^2}{x^2 + a^2} dx$

1. 問題の内容

$a$は正の定数とする。次の定積分を求めよ。

(1) $\int_{-a}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} dx$

(2) $\int_{-a}^{a} \frac{x^2}{x^2 + a^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-a}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} dx$を計算する。

$x = a\sin\theta$とおくと、$dx = a\cos\theta d\theta$であり、$x=-a$のとき$\theta = -\frac{\pi}{2}$、$x=a$のとき$\theta = \frac{\pi}{2}$である。

よって、

\begin{align*}

\int_{-a}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} dx &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a^2\sin^2\theta \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} a\cos\theta d\theta \\

&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a^2\sin^2\theta \sqrt{a^2\cos^2\theta} a\cos\theta d\theta \\

&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a^2\sin^2\theta \cdot a\cos\theta \cdot a\cos\theta d\theta \\

&= a^4 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2\theta \cos^2\theta d\theta \\

&= a^4 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} (2\sin\theta\cos\theta)^2 d\theta \\

&= \frac{a^4}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta d\theta \\

&= \frac{a^4}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 4\theta}{2} d\theta \\

&= \frac{a^4}{8} \left[ \theta - \frac{1}{4}\sin 4\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\

&= \frac{a^4}{8} \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin 2\pi - \left( -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin(-2\pi) \right) \right] \\

&= \frac{a^4}{8} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 + \frac{\pi}{2} + 0 \right] \\

&= \frac{a^4}{8} \pi \\

&= \frac{\pi a^4}{8}

\end{align*}

(2) $\int_{-a}^{a} \frac{x^2}{x^2 + a^2} dx$を計算する。

\begin{align*}

\int_{-a}^{a} \frac{x^2}{x^2 + a^2} dx &= \int_{-a}^{a} \frac{x^2 + a^2 - a^2}{x^2 + a^2} dx \\

&= \int_{-a}^{a} \left( 1 - \frac{a^2}{x^2 + a^2} \right) dx \\

&= \left[ x - a \arctan \frac{x}{a} \right]_{-a}^{a} \\

&= \left( a - a \arctan \frac{a}{a} \right) - \left( -a - a \arctan \frac{-a}{a} \right) \\

&= a - a \arctan 1 + a + a \arctan (-1) \\

&= 2a - a \left( \frac{\pi}{4} \right) + a \left( -\frac{\pi}{4} \right) \\

&= 2a - \frac{a\pi}{4} - \frac{a\pi}{4} \\

&= 2a - \frac{a\pi}{2} \\

&= a \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right)

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi a^4}{8}$

(2) $a \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right)$