与えられた関数を微分する問題です。具体的には以下の関数について、導関数を求めます。 (1) $y = (2x + 1)^{-3}$ (2) $y = \sqrt[3]{6x + 7}$ (3) $y = \sqrt{(5 - 2x)^3}$ (4) $y = (3x + 2)^{\frac{4}{3}}$ (5) $y = \sqrt[4]{(3x + 5)^3}$ (6) $y = (4x + 5)^{-\frac{1}{4}}$

はい、承知いたしました。以下の関数について、それぞれ微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には以下の関数について、導関数を求めます。

(1) $y = (2x + 1)^{-3}$

(2) $y = \sqrt[3]{6x + 7}$

(3) $y = \sqrt{(5 - 2x)^3}$

(4) $y = (3x + 2)^{\frac{4}{3}}$

(5) $y = \sqrt[4]{(3x + 5)^3}$

(6) $y = (4x + 5)^{-\frac{1}{4}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (2x + 1)^{-3}$

合成関数の微分公式を利用します。$u = 2x + 1$ とおくと、$y = u^{-3}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -3u^{-4}$

$\frac{du}{dx} = 2$

よって、$\frac{dy}{dx} = -3(2x + 1)^{-4} \cdot 2 = -6(2x + 1)^{-4}$

(2) $y = \sqrt[3]{6x + 7} = (6x + 7)^{\frac{1}{3}}$

合成関数の微分公式を利用します。$u = 6x + 7$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{3}}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{du}{dx} = 6$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(6x + 7)^{-\frac{2}{3}} \cdot 6 = 2(6x + 7)^{-\frac{2}{3}}$

(3) $y = \sqrt{(5 - 2x)^3} = (5 - 2x)^{\frac{3}{2}}$

合成関数の微分公式を利用します。$u = 5 - 2x$ とおくと、$y = u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{3}{2}u^{\frac{1}{2}}$

$\frac{du}{dx} = -2$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}(5 - 2x)^{\frac{1}{2}} \cdot (-2) = -3(5 - 2x)^{\frac{1}{2}}$

(4) $y = (3x + 2)^{\frac{4}{3}}$

合成関数の微分公式を利用します。$u = 3x + 2$ とおくと、$y = u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{4}{3}u^{\frac{1}{3}}$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{3}(3x + 2)^{\frac{1}{3}} \cdot 3 = 4(3x + 2)^{\frac{1}{3}}$

(5) $y = \sqrt[4]{(3x + 5)^3} = (3x + 5)^{\frac{3}{4}}$

合成関数の微分公式を利用します。$u = 3x + 5$ とおくと、$y = u^{\frac{3}{4}}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{3}{4}u^{-\frac{1}{4}}$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}(3x + 5)^{-\frac{1}{4}} \cdot 3 = \frac{9}{4}(3x + 5)^{-\frac{1}{4}}$

(6) $y = (4x + 5)^{-\frac{1}{4}}$

合成関数の微分公式を利用します。$u = 4x + 5$ とおくと、$y = u^{-\frac{1}{4}}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{4}u^{-\frac{5}{4}}$

$\frac{du}{dx} = 4$

よって、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4}(4x + 5)^{-\frac{5}{4}} \cdot 4 = -(4x + 5)^{-\frac{5}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -6(2x + 1)^{-4}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 2(6x + 7)^{-\frac{2}{3}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -3(5 - 2x)^{\frac{1}{2}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = 4(3x + 2)^{\frac{1}{3}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{9}{4}(3x + 5)^{-\frac{1}{4}}$

(6) $\frac{dy}{dx} = -(4x + 5)^{-\frac{5}{4}}$