問題は、逆三角関数の公式に関するもので、$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ が成り立つことを示すことです。

1. 問題の内容

問題は、逆三角関数の公式に関するもので、$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ が成り立つことを示すことです。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^{-1}x = \theta$ とおきます。このとき、$\sin \theta = x$ となります。

次に、$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ を考えます。三角関数の性質より、$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ が成り立ちます。

したがって、$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = x$ となります。

両辺に$\cos^{-1}$を適用すると、$\frac{\pi}{2} - \theta = \cos^{-1}x$ となります。

$\theta$について解くと、$\theta = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1}x$ となります。

最初の仮定$\sin^{-1}x = \theta$ を代入すると、$\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1}x$ となります。

最後に、この式を整理すると、$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$