問題は、部分積分法を用いて以下の3つの不定積分を求めることです。 1. $\int 3xe^{2x} dx$

1. 問題の内容

問題は、部分積分法を用いて以下の3つの不定積分を求めることです。

1. $\int 3xe^{2x} dx$

2. $\int x \cos 2x dx$

3. $\int x^2 \sin x dx$

2. 解き方の手順

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1. $\int 3xe^{2x} dx$ の計算**

部分積分法 $\int u dv = uv - \int v du$ を用います。

$u = 3x$ と $dv = e^{2x} dx$ とおくと、$du = 3 dx$ と $v = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

よって、

$\int 3xe^{2x} dx = 3x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 3 dx$

$= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{2} \int e^{2x} dx$

$= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C$

$= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{4}e^{2x} + C$

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2. $\int x \cos 2x dx$ の計算**

部分積分法 $\int u dv = uv - \int v du$ を用います。

$u = x$ と $dv = \cos 2x dx$ とおくと、$du = dx$ と $v = \frac{1}{2}\sin 2x$ となります。

よって、

$\int x \cos 2x dx = x \cdot \frac{1}{2}\sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x dx$

$= \frac{1}{2}x \sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x dx$

$= \frac{1}{2}x \sin 2x - \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}\cos 2x) + C$

$= \frac{1}{2}x \sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$

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3. $\int x^2 \sin x dx$ の計算**

部分積分法を2回用います。

まず、$u = x^2$ と $dv = \sin x dx$ とおくと、$du = 2x dx$ と $v = -\cos x$ となります。

よって、

$\int x^2 \sin x dx = x^2 \cdot (-\cos x) - \int (-\cos x) \cdot 2x dx$

$= -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx$

次に、$\int x \cos x dx$ を部分積分で計算します。

$u = x$ と $dv = \cos x dx$ とおくと、$du = dx$ と $v = \sin x$ となります。

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx$

$= x \sin x - (-\cos x) + C_1$

$= x \sin x + \cos x + C_1$

これを最初の式に代入すると、

$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2 (x \sin x + \cos x) + C$

$= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$

3. 最終的な答え

1. $\int 3xe^{2x} dx = \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{4}e^{2x} + C$

2. $\int x \cos 2x dx = \frac{1}{2}x \sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$

3. $\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$