与えられた数列の和を求める問題です。数列は $ \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $ です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ です。

2. 解き方の手順

この数列の各項は、部分分数分解を用いてより簡単な形に書き換えることができます。一般項 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

両辺に $(2k-1)(2k+1)$ を掛けると、

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$

この式が任意の $k$ について成り立つためには、次の連立方程式が成り立てばよいです。

$2A + 2B = 0$

$A - B = 1$

この連立方程式を解くと、$A = \frac{1}{2}$, $B = -\frac{1}{2}$ となります。したがって、

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

与えられた数列の和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

この和は、隣り合う項が打ち消し合う望遠鏡和の形になっているため、

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1}$

$S_n = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{2n+1}$