与えられた7つの極限値をロピタルの定理を用いて計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$ (2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x$ (3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tan x - \sec x)$ (4) $\lim_{x \to +0} \frac{\log (1 + \sqrt{x(1-x)})}{\sin \sqrt{x}}$ (5) $\lim_{x \to 1-0} \frac{\log (\tan \frac{\pi}{2} x)}{\tanh^{-1} x}$ (6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log (\sin^{-1} \frac{1}{x})}{\log x}$ (7) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$

はい、承知いたしました。ロピタルの定理を使って与えられた極限値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた7つの極限値をロピタルの定理を用いて計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tan x - \sec x)$

(4) $\lim_{x \to +0} \frac{\log (1 + \sqrt{x(1-x)})}{\sin \sqrt{x}}$

(5) $\lim_{x \to 1-0} \frac{\log (\tan \frac{\pi}{2} x)}{\tanh^{-1} x}$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log (\sin^{-1} \frac{1}{x})}{\log x}$

(7) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形である場合に、$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ を計算することで極限値を求めることができるという定理です。各問題について、不定形であることを確認し、ロピタルの定理を適用します。

対数を取ってからロピタルの定理を適用すると計算が楽になる場合もあります。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}$

$x \to \infty$ で $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。$n$ 回ロピタルの定理を適用すると、分子は $n!$ となり、分母は $e^x$ のままです。

$\lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0$

(2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x$

$x \to \frac{\pi}{2}$ で $0 \cdot \infty$ の不定形なので、$\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の形に変形します。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi - 2x}{\cot x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-2}{-\csc^2 x} = \frac{-2}{-1} = 2$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tan x - \sec x)$

$x \to \frac{\pi}{2}$ で $\infty - \infty$ の不定形なので、式を整理します。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - 1}{\cos x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{-\sin x} = \frac{0}{-1} = 0$

(4) $\lim_{x \to +0} \frac{\log (1 + \sqrt{x(1-x)})}{\sin \sqrt{x}}$

$x \to +0$ で $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。しかし、微分計算が複雑になるため、テイラー展開を利用します。

$\sqrt{x(1-x)} \approx \sqrt{x}$

$\log(1+x) \approx x$

$\sin x \approx x$

$\lim_{x \to +0} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1$

(5) $\lim_{x \to 1-0} \frac{\log (\tan \frac{\pi}{2} x)}{\tanh^{-1} x}$

$x \to 1-0$ で $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}$ を利用します。

$\lim_{x \to 1-0} \frac{\log (\tan \frac{\pi}{2} x)}{\frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}}$

$\frac{d}{dx} \log(\tan(\pi x/2)) = \frac{\pi/2 \sec^2(\pi x/2)}{\tan(\pi x/2)} = \frac{\pi}{2 \sin(\pi x/2) \cos(\pi x/2)} = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}$

$\frac{d}{dx} \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x} = \frac{1}{1-x^2}$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{\pi / \sin(\pi x)}{1/(1-x^2)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{\pi(1-x^2)}{\sin(\pi x)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{\pi(1-x)(1+x)}{\sin(\pi(1-x))}=\lim_{x \to 1^-} \frac{\pi (1-x)(1+x)}{\pi (1-x)} = 2$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log (\sin^{-1} \frac{1}{x})}{\log x}$

$x \to \infty$ で $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。$\sin^{-1} \frac{1}{x} \approx \frac{1}{x}$ を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log (\frac{1}{x})}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\log x}{\log x} = -1$

(7) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$

両辺の対数を取ります。

$L = \lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$

$\log L = \lim_{x \to +0} -\frac{\log (\sin x)}{\log x}$

$x \to +0$ で $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to +0} -\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} -\frac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to +0} -\frac{x}{\sin x} \cos x = -1 \cdot 1 = -1$

$\log L = -1$ より、$L = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 2

(3) 0

(4) 1

(5) 2

(6) -1

(7) $\frac{1}{e}$