以下の4つの関数の導関数を求めます。 (7) $y = \frac{1}{(\arccos x + 4)^2}$ (8) $y = \sqrt{\arctan x - 1}$ (9) $y = \arctan (e^x)$ (10) $y = \log (\arccos x)$

わかりました。画像の微分問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの関数の導関数を求めます。

(7) $y = \frac{1}{(\arccos x + 4)^2}$

(8) $y = \sqrt{\arctan x - 1}$

(9) $y = \arctan (e^x)$

(10) $y = \log (\arccos x)$

2. 解き方の手順

(7) $y = \frac{1}{(\arccos x + 4)^2}$ の導関数

$y = (\arccos x + 4)^{-2}$と書き換えます。

連鎖律を用いると、

$\frac{dy}{dx} = -2 (\arccos x + 4)^{-3} \cdot \frac{d}{dx}(\arccos x + 4)$

$\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$なので、

$\frac{dy}{dx} = -2 (\arccos x + 4)^{-3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(\arccos x + 4)^3 \sqrt{1-x^2}}$

(8) $y = \sqrt{\arctan x - 1}$ の導関数

$y = (\arctan x - 1)^{\frac{1}{2}}$と書き換えます。

連鎖律を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\arctan x - 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(\arctan x - 1)$

$\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\arctan x - 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{1+x^2})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\arctan x - 1}}$

(9) $y = \arctan (e^x)$ の導関数

連鎖律を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (e^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(e^x)$

$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}$

(10) $y = \log (\arccos x)$ の導関数

連鎖律を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\arccos x} \cdot \frac{d}{dx}(\arccos x)$

$\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\arccos x} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\arccos x \sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(\arccos x + 4)^3 \sqrt{1-x^2}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\arctan x - 1}}$

(9) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}$

(10) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\arccos x \sqrt{1-x^2}}$