問題は2つあります。 (1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$ を計算すること。 (2) $y=e^x$ を定義に従って微分すること。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$ を計算すること。

(2) $y=e^x$ を定義に従って微分すること。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$ の計算

$1+t = \alpha$ とおくと、$t = \alpha - 1$ であり、$t \to 0$ のとき $\alpha \to 1$ となる。

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = \lim_{\alpha \to 1} \frac{\log \alpha}{\alpha - 1}$

ここで、$f(x) = \log x$ とすると、$f'(x) = \frac{1}{x}$ である。

$\lim_{\alpha \to 1} \frac{\log \alpha}{\alpha - 1} = \lim_{\alpha \to 1} \frac{f(\alpha) - f(1)}{\alpha - 1} = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

(2) $y=e^x$ を定義に従って微分

導関数の定義は、

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

である。$f(x) = e^x$ なので、

$y' = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ である（問題1の(2)より）。

したがって、$y' = e^x \cdot 1 = e^x$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$

(2) $y=e^x$ の導関数は $y' = e^x$