関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2}$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ を微分せよ。 (2) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求めよ。 (3) $t$ の方程式 $a\sin^2 t - 2\sin t + 2a - 1 = 0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x^2+2}$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ を微分せよ。

(2) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求めよ。

(3) $t$ の方程式 $a\sin^2 t - 2\sin t + 2a - 1 = 0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の微分

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

$u = 2x+1$, $v = x^2+2$ とすると、$u' = 2$, $v' = 2x$ であるから、

$$f'(x) = \frac{2(x^2+2) - (2x+1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^2+4 - (4x^2+2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{-2x^2-2x+4}{(x^2+2)^2} = \frac{-2(x^2+x-2)}{(x^2+2)^2} = \frac{-2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}$$

(2) $f(x)$ の増減と極値

$f'(x) = 0$ となるのは、分子が0のとき、つまり $x = -2, 1$ のときである。

$f'(x)$ の符号を調べる。

- $x < -2$ のとき、$f'(x) < 0$

- $-2 < x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$

- $x > 1$ のとき、$f'(x) < 0$

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -2 | ... | 1 | ... |

| :--- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↓ | | ↑ | | ↓ |

$x = -2$ のとき、$f(-2) = \frac{2(-2)+1}{(-2)^2+2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$ (極小値)

$x = 1$ のとき、$f(1) = \frac{2(1)+1}{(1)^2+2} = \frac{3}{3} = 1$ (極大値)

(3) 方程式 $a\sin^2 t - 2\sin t + 2a - 1 = 0$ が実数解を持つ条件

$s = \sin t$ とおくと、$-1 \le s \le 1$ であり、$as^2 - 2s + 2a - 1 = 0$ となる。

$a = 0$ のとき、$-2s-1=0$より$s = -1/2$。$-1 \le s \le 1$を満たすので、$a=0$は条件を満たす。

$a \neq 0$ のとき、$s^2 - \frac{2}{a}s + 2 - \frac{1}{a} = 0$。

$s = \frac{1}{a} \pm \sqrt{\frac{1}{a^2} - 2 + \frac{1}{a}}$。

実数解を持つためには$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a} - 2 \ge 0$ より、$1 + a - 2a^2 \ge 0$, $2a^2 - a - 1 \le 0$

$(2a+1)(a-1) \le 0$ より、$-\frac{1}{2} \le a \le 1$

$-1 \le \frac{1}{a} \pm \sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a} - 2} \le 1$ となる $a$ の範囲を求める。

$s = \frac{2s+1}{s^2+2}$ とすると、方程式は $a(s^2 + 2) = 2s+1$となり、$a = (2s+1)/(s^2+2)$.

$s = \sin t$ より, $s$は $-1 \leq s \leq 1$を満たす。$f(s)=(2s+1)/(s^2+2)$とおくと、(2)より、$-\frac{1}{2} \leq f(s) \leq 1$だから、$a$の範囲は$-\frac{1}{2} \leq a \leq 1$.

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{-2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}$

(2) 極小値 $f(-2) = -\frac{1}{2}$, 極大値 $f(1) = 1$

(3) $-\frac{1}{2} \le a \le 1$