以下の3つの関数について、$n$ 次導関数を求める問題です。 (1) $x \sin x$ (2) $x^2 e^{3x}$ (3) $x^3 a^x$

1. 問題の内容

以下の3つの関数について、$n$ 次導関数を求める問題です。

(1) $x \sin x$

(2) $x^2 e^{3x}$

(3) $x^3 a^x$

2. 解き方の手順

(1) $x \sin x$ の $n$ 次導関数

$f(x) = x$ , $g(x) = \sin x$ とおきます。ライプニッツの公式を用いると、

$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k f^{(k)} g^{(n-k)}$

$f'(x) = 1$, $f''(x) = 0$ より $f^{(k)}(x) = 0$ (for $k \ge 2$) です。

よって、

$(x \sin x)^{(n)} = {}_n C_0 x (\sin x)^{(n)} + {}_n C_1 (\sin x)^{(n-1)}$

$\sin x$ の $n$ 次導関数は $\sin (x + \frac{n \pi}{2})$ なので、

$(x \sin x)^{(n)} = x \sin(x + \frac{n \pi}{2}) + n \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

$= x \sin(x + \frac{n \pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n \pi}{2})$

(2) $x^2 e^{3x}$ の $n$ 次導関数

$f(x) = x^2$ , $g(x) = e^{3x}$ とおきます。ライプニッツの公式を用いると、

$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k f^{(k)} g^{(n-k)}$

$f'(x) = 2x$, $f''(x) = 2$, $f'''(x) = 0$ より $f^{(k)}(x) = 0$ (for $k \ge 3$) です。

よって、

$(x^2 e^{3x})^{(n)} = {}_n C_0 x^2 (e^{3x})^{(n)} + {}_n C_1 2x (e^{3x})^{(n-1)} + {}_n C_2 2 (e^{3x})^{(n-2)}$

$e^{3x}$ の $n$ 次導関数は $3^n e^{3x}$ なので、

$(x^2 e^{3x})^{(n)} = x^2 3^n e^{3x} + n 2x 3^{n-1} e^{3x} + \frac{n(n-1)}{2} 2 \cdot 3^{n-2} e^{3x}$

$= e^{3x} (3^n x^2 + 2n 3^{n-1} x + n(n-1) 3^{n-2})$

(3) $x^3 a^x$ の $n$ 次導関数

$f(x) = x^3$ , $g(x) = a^x$ とおきます。ライプニッツの公式を用いると、

$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k f^{(k)} g^{(n-k)}$

$f'(x) = 3x^2$, $f''(x) = 6x$, $f'''(x) = 6$, $f''''(x) = 0$ より $f^{(k)}(x) = 0$ (for $k \ge 4$) です。

よって、

$(x^3 a^x)^{(n)} = {}_n C_0 x^3 (a^x)^{(n)} + {}_n C_1 3x^2 (a^x)^{(n-1)} + {}_n C_2 6x (a^x)^{(n-2)} + {}_n C_3 6 (a^x)^{(n-3)}$

$a^x$ の $n$ 次導関数は $(\log a)^n a^x$ なので、

$(x^3 a^x)^{(n)} = x^3 (\log a)^n a^x + n 3x^2 (\log a)^{n-1} a^x + \frac{n(n-1)}{2} 6x (\log a)^{n-2} a^x + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 6 (\log a)^{n-3} a^x$

$= a^x [x^3 (\log a)^n + 3n x^2 (\log a)^{n-1} + 3n(n-1)x (\log a)^{n-2} + n(n-1)(n-2) (\log a)^{n-3}]$

3. 最終的な答え

(1) $(x \sin x)^{(n)} = x \sin(x + \frac{n \pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n \pi}{2})$

(2) $(x^2 e^{3x})^{(n)} = e^{3x} [3^n x^2 + 2n 3^{n-1} x + n(n-1) 3^{n-2}]$

(3) $(x^3 a^x)^{(n)} = a^x [x^3 (\log a)^n + 3n x^2 (\log a)^{n-1} + 3n(n-1)x (\log a)^{n-2} + n(n-1)(n-2) (\log a)^{n-3}]$