以下の極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to \infty} \left\{ \left( \frac{2}{3} \right)^x + \left( \frac{3}{2} \right)^x \right\}^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to \infty} \left\{ \left( \frac{2}{3} \right)^x + \left( \frac{3}{2} \right)^x \right\}^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = \left\{ \left( \frac{2}{3} \right)^x + \left( \frac{3}{2} \right)^x \right\}^{\frac{1}{x}}$ の極限を考えます。

$\frac{2}{3} < 1$ より、$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2}{3} \right)^x = 0$ となります。一方、$\frac{3}{2} > 1$ より、$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{3}{2} \right)^x = \infty$ となります。

$x$ が非常に大きいとき、$\left( \frac{2}{3} \right)^x$ は無視できるほど小さいので、

$f(x) \approx \left\{ \left( \frac{3}{2} \right)^x \right\}^{\frac{1}{x}}$ と近似できます。

したがって、

$f(x) \approx \left( \frac{3}{2} \right)^{x \cdot \frac{1}{x}} = \frac{3}{2}$

よって、

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left\{ \left( \frac{2}{3} \right)^x + \left( \frac{3}{2} \right)^x \right\}^{\frac{1}{x}} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$