$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ が正の方向から0に近づく場合 ($x \to 0+$)と、負の方向から0に近づく場合 ($x \to 0-$)を考えます。

* $x \to 0+$ の場合:

$x$ が正で0に近づくとき、$\frac{1}{x}$ は正の無限大に発散します。つまり、$\frac{1}{x} \to +\infty$ です。

したがって、$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}} \to 0$ となります。

* $x \to 0-$ の場合:

$x$ が負で0に近づくとき、$\frac{1}{x}$ は負の無限大に発散します。つまり、$\frac{1}{x} \to -\infty$ です。

したがって、$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}} = (2^{-1})^{\frac{1}{x}} = 2^{-\frac{1}{x}} = 2^{\frac{-1}{x}} \to +\infty$ となります。

右側極限と左側極限が異なるので、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しない。